Giải tích Ví dụ

$y = - \frac{y}{x}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{y}{x})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{y}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = y$ và $g (x) = x$ .

$- \frac{x \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \frac{x y' - y \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{x y' - y \cdot 1}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot 0$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $\frac{y}{x}$ với $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}} + 0$

Bước 3.7.2

Cộng $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ và $0$ .

$- \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{x y' - y}{x^{2}}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $x^{2}$ .

$y' x^{2} = - \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$

Bước 5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $- \frac{x y' - y}{x^{2}} x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x y' - y}{x^{2}}$ vào tử số.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' x^{2} = \frac{- (x y' - y)}{x^{2}} x^{2}$

Bước 5.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$y' x^{2} = - (x y' - y)$

Bước 5.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' x^{2} = - (x y') - - y$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y' x^{2} = - x y' + 1 y$

Bước 5.2.1.3.2

Nhân $y$ với $1$ .

$y' x^{2} = - x y' + y$

Bước 5.2.1.4

Di chuyển $x$ .

$y' x^{2} = - 1 y' x + y$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $- 1 y'$ ở dạng $- y'$ .

$y' x^{2} = - y' x + y$

Bước 5.3.2

Cộng $y' x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y' x^{2} + y' x = y$

Bước 5.3.3

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x^{2} + y' x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x^{2}$ .

$y' x \cdot x + y' x = y$

Bước 5.3.3.2

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x$ .

$y' x \cdot x + y' x \cdot 1 = y$

Bước 5.3.3.3

Đưa $y' x$ ra ngoài $y' x \cdot x + y' x \cdot 1$ .

$y' x (x + 1) = y$

Bước 5.3.4

Chia mỗi số hạng trong $y' x (x + 1) = y$ cho $x (x + 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' x (x + 1) = y$ cho $x (x + 1)$ .

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Bước 5.3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' x (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Bước 5.3.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Bước 5.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{y}{x (x + 1)}$

Bước 5.3.4.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y}{x (x + 1)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (x + 1)}$