Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{7} 4 x \cdot \sqrt[3]{x + 1} d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ .

$4 (x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4} d x)$

Bước 4

Vì $\frac{3}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{4}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x))$

Bước 5

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 5.3

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Bước 5.5

Cộng $7$ và $1$ .

$u_{upper} = 8$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{4}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{3}{7}$ và $u^{\frac{7}{3}}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ và $\frac{3}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8} \cdot 3}{4})$

Bước 7.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3 \cdot (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Bước 7.4

Để viết $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Bước 7.5

Kết hợp $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ và $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4}{4} - \frac{3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4})$

Bước 7.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} \cdot 4 - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

Bước 7.7

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}$ .

$4 \frac{4 \cdot (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$

Bước 7.8

Kết hợp $4$ và $\frac{4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})}{4}$ .

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

Bước 7.9

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8}))}{4}$

Bước 7.10

Chia $4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$ cho $1$ .

$4 (\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ tại $7$ và tại $0$ .

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}]_{1}^{8})$

Bước 8.2

Tính $\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7}$ tại $8$ và tại $1$ .

$4 ((\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Cộng $7$ và $1$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.3

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$4 (\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.6

Nhân $3$ với $16$ .

$4 (\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.7

Nhân $7$ với $48$ .

$4 (\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $336$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.8.1

Đưa $4$ ra ngoài $336$ .

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.8.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.8.2.4

Chia $84$ cho $1$ .

$4 (84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.9

Cộng $0$ và $1$ .

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.11

Nhân $3$ với $1$ .

$4 (84 - \frac{0 \cdot 3}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.12

Nhân $0$ với $3$ .

$4 (84 - \frac{0}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$4 (84 - \frac{4 (0)}{4}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.13.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 (84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (84 - \frac{0}{1}) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.13.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$4 (84 - 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.14

Nhân $- 1$ với $0$ .

$4 (84 + 0) - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.15

Cộng $84$ và $0$ .

$4 \cdot 84 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.16

Nhân $4$ với $84$ .

$336 - 3 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.17

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.18

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.19

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.19.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.19.2

Viết lại biểu thức.

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.20

Nâng $2$ lên lũy thừa $7$ .

$336 - 3 (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.21

Nhân $3$ với $128$ .

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7})$

Bước 8.3.22

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3 \cdot 1}{7})$

Bước 8.3.23

Nhân $3$ với $1$ .

$336 - 3 (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

Bước 8.3.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$336 - 3 \frac{384 - 3}{7}$

Bước 8.3.25

Trừ $3$ khỏi $384$ .

$336 - 3 (\frac{381}{7})$

Bước 8.3.26

Kết hợp $- 3$ và $\frac{381}{7}$ .

$336 + \frac{- 3 \cdot 381}{7}$

Bước 8.3.27

Nhân $- 3$ với $381$ .

$336 + \frac{- 1143}{7}$

Bước 8.3.28

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$336 - \frac{1143}{7}$

Bước 8.3.29

Để viết $336$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$336 \cdot \frac{7}{7} - \frac{1143}{7}$

Bước 8.3.30

Kết hợp $336$ và $\frac{7}{7}$ .

$\frac{336 \cdot 7}{7} - \frac{1143}{7}$

Bước 8.3.31

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{336 \cdot 7 - 1143}{7}$

Bước 8.3.32

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.32.1

Nhân $336$ với $7$ .

$\frac{2352 - 1143}{7}$

Bước 8.3.32.2

Trừ $1143$ khỏi $2352$ .

$\frac{1209}{7}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1209}{7}$

Dạng thập phân:

$172.71428571 \dots$

Dạng hỗn số:

$172 \frac{5}{7}$

Bước 10