Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} \tan^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{x}{3}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{3} d x$ , nên $3 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

Bước 1.3

Chia $0$ cho $3$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Bước 1.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Bước 1.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Bước 2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \cdot 3 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} (u) d u$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) d u$

Bước 4

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (u)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$3 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

Bước 7

Vì đạo hàm của $\tan (u)$ là $\sec^{2} (u)$ , tích phân của $\sec^{2} (u)$ là $\tan (u)$ .

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Bước 8

Kết hợp $- u]_{0}^{\frac{π}{3}}$ và $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$3 (- u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $- u + \tan (u)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $0$ .

$3 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Bước 9.2.2

Cộng $0$ và $\tan (0)$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Bước 10.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Bước 10.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Bước 10.4

Cộng $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ và $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (- \frac{π}{3}) + 3 \sqrt{3}$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{3}$ vào tử số.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

Bước 11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

Bước 11.2.3

Viết lại biểu thức.

$- π + 3 \sqrt{3}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- π + 3 \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$2.05455976 \dots$