Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \sin (4 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (4 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Bước 1.1.3.3.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{upper} = \sin (4 π)$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Bước 1.5.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

Bước 2

Kết hợp ${u_{2}}^{6}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{6}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ tại $0$ và tại $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 5.2.2

Nhân $\frac{1}{7}$ với $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Bước 5.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

Bước 5.2.4

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

Bước 5.2.5

Nhân $0$ với $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Bước 5.2.6

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Bước 5.2.7

Nhân $\frac{1}{4}$ với $0$ .

$0$