Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

Bước 1

Kiểm tra xem $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[0, 4]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

Bước 1.1.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x^{3}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{3} \geq 0$

Bước 1.1.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Bước 1.1.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.2.1

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 1.1.3.2.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x \geq 0$

Bước 1.1.4

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq 0}$

Bước 1.2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 4]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ có khả vi không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.8

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.9

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.10

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.11

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2.12

Chia $x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Bước 2.1.1.3.2

Cộng $x^{\frac{1}{2}}$ và $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.2

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $[0, 4]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[0, 4]$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\sqrt{x^{1}}$

Bước 2.2.1.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\sqrt{x}$

Bước 2.2.1.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 2.2.1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$[0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq 0}$

Bước 2.2.2

$f' (x)$ liên tục trên $[0, 4]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 2.3

Hàm số khả vi trên $[0, 4]$ vì đạo hàm liên tục trên $[0, 4]$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 3

Để đảm bảo độ dài cung, cả hàm số và đạo hàm của nó phải liên tục trong khoảng đóng $[0, 4]$ .

Hàm số và đạo hàm của nó liên tục trên khoảng đóng $[0, 4]$ .

Bước 4

Tìm đạo hàm của $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.8

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.9

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.10

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.11

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.2.12

Chia $x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Bước 4.3.2

Cộng $x^{\frac{1}{2}}$ và $0$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Bước 5

Để tìm độ dài cung của một hàm số, hãy sử dụng công thức $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Bước 6

Tính tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giả sử $u = 1 + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Hãy đặt $u = 1 + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 6.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 6.1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 6.1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 6.1.3

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 6.1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Bước 6.1.5

Cộng $1$ và $4$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 6.1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Bước 6.1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Bước 6.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Bước 6.4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $5$ và tại $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 6.4.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Bước 6.4.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Dạng thập phân:

$6.78689325 \dots$

Bước 8