Giải tích Ví dụ

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ , $[- 1, 1]$

Bước 1

Viết $y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Bước 2

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[- 1, 1]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 x$

Bước 2.2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

$f (x)$ liên tục trên $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 4

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x d x)$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Bước 7

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 \int_{- 1}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{3}{5}$ và $x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Bước 10

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 \int_{- 1}^{1} x d x)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}))$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Bước 12.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Tính $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Bước 12.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.2

Nhân $3$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.3

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.6

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.10

Nhân $\frac{3}{5}$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 + 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.12

Cộng $3$ và $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{6}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.13

Kết hợp $3$ và $\frac{6}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.14

Nhân $3$ với $6$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.15

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Bước 12.2.3.16

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}))$

Bước 12.2.3.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{1 - 1}{2})$

Bước 12.2.3.18

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{2}))$

Bước 12.2.3.19

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.19.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 (0)}{2})$

Bước 12.2.3.19.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.19.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 12.2.3.19.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 12.2.3.19.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{1}))$

Bước 12.2.3.19.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \cdot 0)$

Bước 12.2.3.20

Nhân $- 2$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} + 0)$

Bước 12.2.3.21

Cộng $\frac{18}{5}$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5})$

Bước 13

Cộng $1$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{5}$

Bước 14

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (9)}{5}$

Bước 14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 9}{5}$

Bước 14.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{9}{5}$

Bước 15