Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} - 3 x + 1$ , $[0, 2]$

Bước 1

Viết $y = x^{2} - 3 x + 1$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm của $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.2.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Bước 2.1.3.2

Cộng $2 x - 3$ và $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Bước 3

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4

$f' (x)$ liên tục trên $[0, 2]$ .

$f' (x)$ là liên tục

Bước 5

Giá trị trung bình của hàm số $f'$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 6

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x - 3 d x)$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Bước 8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Bước 12

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Bước 12.2

Tính $- 3 x$ tại $2$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.6

Cộng $2$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.7

Nhân $2$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.8

Nhân $- 3$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 3 \cdot 0)$

Bước 12.3.9

Nhân $3$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 0)$

Bước 12.3.10

Cộng $- 6$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6)$

Bước 12.3.11

Trừ $6$ khỏi $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 2)$

Bước 13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot - 2$

Bước 13.2

Cộng $2$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot - 2$

Bước 14

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Bước 14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Bước 14.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = - 1$

Bước 15