Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{2 x}$ , $(2, 8)$

Bước 1

Viết $y = \sqrt{2 x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sqrt{2 x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm của $f (x) = \sqrt{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 x}$ ở dạng ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2

Vì $2^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 2.1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 2.1.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 2.1.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.1.10

Kết hợp $2^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.1.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.11.1

Di chuyển $2^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.11.2

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.12

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.12.1

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.12.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.12.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.12.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.12.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.12.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f' (x)$ có liên tục trên $[2, 8]$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.1.2

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} \sqrt{x^{1}}}$

Bước 3.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x^{1}}}$

Bước 3.1.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

Bước 3.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x \geq 0$

Bước 3.3

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{2} \sqrt{x} = 0$

Bước 3.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(\sqrt{2} \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1

Rút gọn ${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

${\sqrt{2}}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.2

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.2.5

Tính số mũ.

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$2 x^{1} = 0^{2}$

Bước 3.4.2.2.1.4

Rút gọn.

$2 x = 0^{2}$

Bước 3.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 x = 0$

Bước 3.4.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 3.4.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 3.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 3.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x > 0}$

Bước 4

$f' (x)$ liên tục trên $[2, 8]$ .

$f' (x)$ là liên tục

Bước 5

Giá trị trung bình của hàm số $f'$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 6

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\int_{2}^{8} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Bước 8

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Bước 8.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Bước 8.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Bước 8.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{8})$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $2 x^{\frac{1}{2}}$ tại $8$ và tại $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.2.2

Nhân các số mũ trong ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.2.2.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.2.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.2.6

Cộng $2$ và $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Bước 10.2.7

Đưa dấu âm ra ngoài.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Bước 10.2.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Bước 10.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{1 + \frac{1}{2}}))$

Bước 10.2.10

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}))$

Bước 10.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2 + 1}{2}}))$

Bước 10.2.12

Cộng $2$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Bước 11.2

Triệt tiêu thừa số chung $2^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Đưa $2^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2^{\frac{5}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Bước 11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Bước 11.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Bước 11.3

Triệt tiêu thừa số chung $2^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Đưa $2^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Bước 11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Bước 11.3.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} - 2^{\frac{2}{2}})$

Bước 11.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Chia $4$ cho $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{2} - 2^{\frac{2}{2}})$

Bước 11.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2^{\frac{2}{2}})$

Bước 11.4.3

Chia $2$ cho $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Bước 11.4.4

Tính số mũ.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 1 \cdot 2)$

Bước 11.4.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Bước 11.5

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2)$

Bước 12

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 2$

Bước 13

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 2$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{3}$

Bước 14