Giải tích Ví dụ

y = \frac{3}{x - 2}

$y = \frac{3}{x - 2}$ ,

[4, 7]

$[4, 7]$

Bước 1

Viết

y = \frac{3}{x - 2}

$y = \frac{3}{x - 2}$ ở dạng một hàm số.

f (x) = \frac{3}{x - 2}

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Bước 2

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng

[a, b]

$[a, b]$ . Để tìm hiểu xem

f (x)

$f (x)$ có liên tục trên

[4, 7]

$[4, 7]$ không, hãy tìm tập xác định của

f (x) = \frac{3}{x - 2}

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt mẫu số trong

\frac{3}{x - 2}

$\frac{3}{x - 2}$ bằng

0

$0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Bước 2.2

Cộng

2

$2$ cho cả hai vế của phương trình.

x = 2

$x = 2$

Bước 2.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của

x

$x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

(- \infty, 2) \cup (2, \infty)

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

{x | x \neq 2}

${x | x \neq 2}$

Ký hiệu khoảng:

(- \infty, 2) \cup (2, \infty)

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

{x | x \neq 2}

${x | x \neq 2}$

Bước 3

f (x)

$f (x)$ liên tục trên

[4, 7]

$[4, 7]$ .

f (x)

$f (x)$ là liên tục

Bước 4

Giá trị trung bình của hàm số

f

$f$ trong khoảng

[a, b]

$[a, b]$ được định nghĩa là

A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 6

Vì

3

$3$ không đổi đối với

x

$x$ , hãy di chuyển

3

$3$ ra khỏi tích phân.

A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

Bước 7

Giả sử

u = x - 2

$u = x - 2$ . Sau đó

d u = d x

$d u = d x$ . Viết lại bằng

u

$u$ và

d

$d$

u

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt

u = x - 2

$u = x - 2$ . Tìm

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm

x - 2

$x - 2$ .

\frac{d}{d x} [x - 2]

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

x - 2

$x - 2$ đối với

x

$x$ là

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ trong đó

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 7.1.4

Vì

- 2

$- 2$ là hằng số đối với

x

$x$ , đạo hàm của

- 2

$- 2$ đối với

x

$x$ là

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Bước 7.1.5

Cộng

1

$1$ và

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Bước 7.2

Thay giới hạn dưới vào cho

x

$x$ trong

u = x - 2

$u = x - 2$ .

u_{lower} = 4 - 2

$u_{lower} = 4 - 2$

Bước 7.3

Trừ

2

$2$ khỏi

4

$4$ .

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

Bước 7.4

Thay giới hạn trên vào cho

x

$x$ trong

u = x - 2

$u = x - 2$ .

u_{upper} = 7 - 2

$u_{upper} = 7 - 2$

Bước 7.5

Trừ

2

$2$ khỏi

7

$7$ .

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

Bước 7.6

Các giá trị tìm được cho

u_{lower}

$u_{lower}$ và

u_{upper}

$u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

u_{lower} = 2

$u_{lower} = 2$

u_{upper} = 5

$u_{upper} = 5$

Bước 7.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng

u

$u$ ,

d u

$d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Bước 8

Tích phân của

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ đối với

u

$u$ là

ln (| u |)

$\ln (| u |)$ .

A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (ln (| u |)]_{2}^{5}))

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

Bước 9

Tính

ln (| u |)

$\ln (| u |)$ tại

5

$5$ và tại

2

$2$ .

A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (ln (| 5 |) - ln (| 2 |)))

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

Bước 10

Sử dụng tính chất thương của logarit,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

0

$0$ và

5

$5$ là

5

$5$ .

A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 ln (\frac{5}{| 2 |}))

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

Bước 11.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa

0

$0$ và

2

$2$ là

2

$2$ .

A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 ln (\frac{5}{2}))

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 ln (\frac{5}{2}))

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Bước 12

Trừ

4

$4$ khỏi

7

$7$ .

A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 ln (\frac{5}{2}))

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Bước 13

Triệt tiêu thừa số chung

3

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa

3

$3$ ra ngoài

3 ln (\frac{5}{2})

$3 \ln (\frac{5}{2})$ .

A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (ln (\frac{5}{2})))

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

Bước 14