Giải tích Ví dụ

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Bước 1

Viết $y = \frac{3}{x - 2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Bước 2

Để tìm giá trị trung bình của một hàm số, hàm số phải liên tục trong khoảng đóng $[a, b]$ . Để tìm hiểu xem $f (x)$ có liên tục trên $[4, 7]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt mẫu số trong $\frac{3}{x - 2}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x - 2 = 0$

Bước 2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 2}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 2}$

Bước 3

$f (x)$ liên tục trên $[4, 7]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 4

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

Bước 6

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

Bước 7

Giả sử $u = x - 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 7.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 7.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 7.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Bước 7.3

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 7.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

Bước 7.5

Trừ $2$ khỏi $7$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 7.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Bước 7.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

Bước 9

Tính $\ln (| u |)$ tại $5$ và tại $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

Bước 10

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $5$ là $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

Bước 11.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Bước 12

Trừ $4$ khỏi $7$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Bước 13

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 \ln (\frac{5}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

Bước 14