Giải tích Ví dụ

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{x - 2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

Bước 1.1.1.2

Viết lại $\frac{1}{x - 2}$ ở dạng ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 2$ .

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Bước 1.1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 1.1.3.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Bước 1.1.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Bước 1.1.3.5.2

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 2

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $[4, 7]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[4, 7]$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 2.1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 2.1.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 2}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 2}$

Bước 2.2

$f' (x)$ liên tục trên $[4, 7]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 3

Hàm số khả vi trên $[4, 7]$ vì đạo hàm liên tục trên $[4, 7]$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 4