Giải tích Ví dụ

$\sec^{2} (x)$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

Bước 2.1.2

Câu trả lời cuối cùng là $\sec^{2} (x + h)$ .

$\sec^{2} (x + h)$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

$f (x) = \sec^{2} (x)$

$f (x + h) = \sec^{2} (x + h)$

$f (x) = \sec^{2} (x)$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sec^{2} (x + h) - (\sec^{2} (x))}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - (\frac{1}{\cos^{2} (x)})}{h}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{h}$

Bước 4.2.1.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{h}$

Bước 4.2.1.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \sec^{2} (x)}{h}$

Bước 4.2.1.4

Để viết $- \sec^{2} (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} - \sec^{2} (x) \cdot \frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Bước 4.2.1.5

Kết hợp $- \sec^{2} (x)$ và $\frac{\cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x + h)} + \frac{- \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Bước 4.2.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Bước 4.2.1.7

Viết lại $\frac{1 - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.7.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2} - \sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Bước 4.2.1.7.2

Viết lại $\sec^{2} (x) \cos^{2} (x + h)$ ở dạng ${(\sec (x) \cos (x + h))}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2} - {(\sec (x) \cos (x + h))}^{2}}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Bước 4.2.1.7.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \sec (x) \cos (x + h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h)}}{h}$

Bước 4.2.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.2.3

Kết hợp.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \cdot 1}{\cos^{2} (x + h) h}$

Bước 4.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Nhân $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ với $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h) h}$

Bước 4.2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{\cos^{2} (x + h) h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{h \to 0} (1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1 + \sec (x) \cos (x + h) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{(1 + lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.4

Chuyển số hạng $\sec (x)$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) lim_{h \to 0} \cos (x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.5

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.7

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot lim_{h \to 0} 1 - \sec (x) \cos (x + h)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.9

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - lim_{h \to 0} \sec (x) \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.10

Chuyển số hạng $\sec (x)$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) lim_{h \to 0} \cos (x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.11

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.12

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.13

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.14

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.14.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + 0)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.14.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x + 0)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.15.1

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x) \cos (x)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15.2

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.15.2.1

Viết lại $\sec (x) \cos (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{(1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\frac{(1 + 1) \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \cdot (1 - \sec (x) \cos (x + 0))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15.4

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{2 \cdot (1 - \sec (x) \cos (x))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.15.5.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.15.5.1.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{2 \cdot (1 - (\sec (x) \cos (x)))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15.5.1.2

Viết lại $- \sec (x) \cos (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \cdot (1 - (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)))}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15.5.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\frac{2 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15.5.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2 \cdot (1 - 1)}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15.6

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.2.15.7

Nhân $2$ với $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.1.3.2

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (x + h)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot {(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

Bước 5.1.3.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

Bước 5.1.3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

Bước 5.1.3.5

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h \cdot \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Bước 5.1.3.6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.6.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Bước 5.1.3.6.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x + 0)}$

Bước 5.1.3.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.7.1

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos^{2} (x)}$

Bước 5.1.3.7.2

Nhân $0$ với $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 5.1.3.7.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 5.1.3.8

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 5.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 5.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))}{h \cos^{2} (x + h)} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 - \sec (x) \cos (x + h))]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ là $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ trong đó $f (h) = 1 + \sec (x) \cos (x + h)$ và $g (h) = 1 - \sec (x) \cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 - \sec (x) \cos (x + h)] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \sec (x) \cos (x + h)$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $1$ đối với $h$ là $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (0 + \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [- \sec (x) \cos (x + h)] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.6

Vì $- \sec (x)$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $- \sec (x) \cos (x + h)$ đối với $h$ là $- \sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ là $f' (g (h)) g' (h)$ trong đó $f (h) = \cos (h)$ và $g (h) = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.7.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (- \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (1 \sec (x) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.9

Nhân $\sec (x)$ với $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) (\sec (x) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + h$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.11

Vì $x$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $x$ đối với $h$ là $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.12

Cộng $0$ và $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h] + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) \cdot 1 + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.14

Nhân $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ với $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [1 + \sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.15

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sec (x) \cos (x + h)$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.16

Vì $1$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $1$ đối với $h$ là $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (0 + \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.17

Cộng $0$ và $\frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \frac{d}{d h} [\sec (x) \cos (x + h)]}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.18

Vì $\sec (x)$ không đổi đối với $h$ , nên đạo hàm của $\sec (x) \cos (x + h)$ đối với $h$ là $\sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) (\sec (x) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.19

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ là $f' (g (h)) g' (h)$ trong đó $f (h) = \cos (h)$ và $g (h) = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.19.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.19.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.19.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.20

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + h$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.21

Vì $x$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $x$ đối với $h$ là $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.22

Cộng $0$ và $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.23

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h) \cdot 1)}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.24

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(1 + \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 - \sec (x) \cos (x + h)) \sec (x) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{h \to 0} \frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.3.1

Nhân $\sec (x)$ với $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.3.2

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.3.3

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (1 \sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.3.6

Nhân $\sec (x)$ với $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - \sec (x) \cos (x + h) \sec (x)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.3.7

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x)) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.3.8

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.3.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.3.10

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) \sin (x + h) + (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h)) (- \sin (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\sec (x) + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.5.1.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.1.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h)) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.1.5

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ và $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.2

Để viết $\frac{1}{\cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\cos^{2} (x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.5.3.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.3.2

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.5.3.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.3.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.3.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.3.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}) - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) \frac{\cos (x) + \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.5

Kết hợp $\sin (x + h)$ và $\frac{\cos (x) + \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\sec (x) - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.5.6.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x) \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.6.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.6.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.6.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x + h))}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.6.5

Kết hợp $\cos (x + h)$ và $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.7

Để viết $\frac{1}{\cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\cos^{2} (x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.5.8.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.8.2

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.5.8.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.8.2.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.8.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.8.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) (\frac{\cos (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\cos (x + h)}{\cos^{2} (x)})}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \sin (x + h) \frac{\cos (x) - \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.5.10

Kết hợp $\frac{\cos (x) - \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}$ và $\sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)} - \frac{(\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (\cos (x) + \cos (x + h)) - (\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - (\cos (x) - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) - - \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.7.3

Nhân $- - \cos (x + h)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.7.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) + 1 \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.7.3.2

Nhân $\cos (x + h)$ với $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) + (- \cos (x) + \cos (x + h)) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.8

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sin (x + h) \cos (x) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.25.8.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\sin (x + h) \cos (x)$ và $- \cos (x) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \sin (x + h) + \sin (x + h) \cos (x + h) - \cos (x) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.8.2

Trừ $\cos (x) \sin (x + h)$ khỏi $\cos (x) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x + h) + 0 + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.8.3

Cộng $\sin (x + h) \cos (x + h)$ và $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) \cos (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.9

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin (x + h) \cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\cos (x + h) \sin (x + h) + \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.10

Cộng $\cos (x + h) \sin (x + h)$ và $\cos (x + h) \sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cos (x + h) \sin (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.11

Sắp xếp lại $2 \cos (x + h)$ và $\sin (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (x + h) (2 \cos (x + h))}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.12

Sắp xếp lại $\sin (x + h)$ và $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot \sin (x + h) \cos (x + h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.13

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 (x + h))}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.25.14

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d h} [h \cos^{2} (x + h)]}$

Bước 5.3.26

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ là $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ trong đó $f (h) = h$ và $g (h) = \cos^{2} (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h \frac{d}{d h} [\cos^{2} (x + h)] + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.27

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ là $f' (g (h)) g' (h)$ trong đó $f (h) = h^{2}$ và $g (h) = \cos (x + h)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.27.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.27.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 u_{1} \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.27.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) \frac{d}{d h} [\cos (x + h)]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.28

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ là $f' (g (h)) g' (h)$ trong đó $f (h) = \cos (h)$ và $g (h) = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.28.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.28.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.28.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (2 \cos (x + h) (- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.29

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) (\sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.30

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + h$ đối với $h$ là $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.31

Vì $x$ là hằng số đối với $h$ , đạo hàm của $x$ đối với $h$ là $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.32

Cộng $0$ và $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) \frac{d}{d h} [h]) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.33

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h) \cdot 1) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.34

Nhân $- 2$ với $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h) \frac{d}{d h} [h]}$

Bước 5.3.35

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ là $n h^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h) \cdot 1}$

Bước 5.3.36

Nhân $\cos^{2} (x + h)$ với $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{h (- 2 \cos (x + h) \sin (x + h)) + \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.3.37

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Bước 5.5

Nhân $\frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x)}$ với $\frac{1}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{\cos^{2} (x) (- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h))}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chuyển số hạng $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} lim_{h \to 0} \frac{\sin (2 x + 2 h)}{- 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} \sin (2 x + 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (lim_{h \to 0} 2 x + 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.5

Tính giới hạn của $2 x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} - 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- lim_{h \to 0} 2 h \cos (x + h) \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.8

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cos (x + h) \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.9

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} \cos (x + h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.10

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (lim_{h \to 0} x + h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.11

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.12

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} \sin (x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.13

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} x + h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.14

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.15

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos^{2} (x + h)}$

Bước 6.16

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (x + h)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + {(lim_{h \to 0} \cos (x + h))}^{2}}$

Bước 6.17

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + h)}$

Bước 6.18

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}$

Bước 6.19

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 lim_{h \to 0} h)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Bước 7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 lim_{h \to 0} h \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + lim_{h \to 0} h) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Bước 7.3

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + lim_{h \to 0} h) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Bước 7.4

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + lim_{h \to 0} h)}$

Bước 7.5

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Bước 8.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Bước 8.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x + 2 \cdot 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Bước 8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Nhân $2$ với $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x + 0)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Bước 8.4.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)}$

Bước 8.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Đưa $\cos (x + 0)$ ra ngoài $- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0) + \cos^{2} (x + 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1.1

Đưa $\cos (x + 0)$ ra ngoài $- 2 \cdot 0 \cdot \cos (x + 0) \cdot \sin (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos^{2} (x + 0)}$

Bước 8.5.1.2

Đưa $\cos (x + 0)$ ra ngoài $\cos^{2} (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos (x + 0) \cos (x + 0)}$

Bước 8.5.1.3

Đưa $\cos (x + 0)$ ra ngoài $\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0)) + \cos (x + 0) \cos (x + 0)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (- 2 \cdot 0 \cdot \sin (x + 0) + \cos (x + 0))}$

Bước 8.5.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 \cdot \sin (x + 0) + \cos (x + 0))}$

Bước 8.5.3

Cộng $x$ và $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 \cdot \sin (x) + \cos (x + 0))}$

Bước 8.5.4

Nhân $0$ với $\sin (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 + \cos (x + 0))}$

Bước 8.5.5

Cộng $x$ và $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) (0 + \cos (x))}$

Bước 8.5.6

Cộng $0$ và $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x + 0) \cos (x)}$

Bước 8.5.7

Cộng $x$ và $0$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Bước 8.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Bước 8.6.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Bước 8.6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Bước 8.6.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.7

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sec^{2} (x) \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.8

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos (x)$ và $\cos^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.2.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Bước 8.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec^{2} (x) \frac{\cos (x) (2 \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Bước 8.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sec^{2} (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 8.9

Tách các phân số.

$\sec^{2} (x) (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Bước 8.10

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\frac{2}{1} \tan (x))$

Bước 8.11

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x)$

Bước 8.12

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Bước 9