Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) + 3}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} - (\frac{2 x}{x + 3})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để viết $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3}}{h}$

Bước 4.1.2

Để viết $- \frac{2 x}{x + 3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Bước 4.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + h + 3) (x + 3)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ với $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

Bước 4.1.3.2

Nhân $\frac{2 x}{x + 3}$ với $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + h + 3) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5

Viết lại $\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x + h) (x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x (x + h + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2

Khai triển $(x + h) (x + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x (x + 3) + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.3.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x \cdot x - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.5.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.5.1.1

Di chuyển $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.5.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.5.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.6

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h + 0 - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.7

Cộng $3 x$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.8

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.9

Cộng $h x + 3 h - x h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.10

Trừ $x h$ khỏi $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.10.1

Sắp xếp lại $h$ và $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + x h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.10.2

Trừ $x h$ khỏi $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.11

Cộng $3 h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (3 h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.1.5.12

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $h$ ra ngoài $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển số hạng $\frac{6}{x + 3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$\frac{6}{x + 3} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 3}$

Bước 5.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Bước 5.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

Bước 5.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Bước 5.5

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

Bước 5.6

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 3}$

Bước 6

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 0 + 3}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Bước 7.2

Nhân $\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{6}{x + 3}$ với $\frac{1}{x + 3}$ .

$\frac{6}{(x + 3) (x + 3)}$

Bước 7.2.2

Nâng $x + 3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

Bước 7.2.3

Nâng $x + 3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

Bước 7.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

Bước 7.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{6}{{(x + 3)}^{2}}$

Bước 8