Giải tích Ví dụ

$f (θ) = θ \cos (θ) \sin (θ)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ là $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ trong đó $f (θ) = θ \cos (θ)$ và $g (θ) = \sin (θ)$ .

$θ \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Bước 2

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$θ \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Bước 3

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$θ (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Bước 4

Nâng $\cos (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$θ (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ {\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Bước 6

Cộng $1$ và $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ là $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ trong đó $f (θ) = θ$ và $g (θ) = \cos (θ)$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Bước 8

Đạo hàm của $\cos (θ)$ đối với $θ$ là $- \sin (θ)$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1)$

Bước 9.2

Nhân $\cos (θ)$ với $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Bước 10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- (\sin^{1} (θ) \sin (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Bước 10.2.2

Nâng $\sin (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Bước 10.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \sin (θ) \cos (θ)$

Bước 10.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) \cos (θ)$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$θ \cos^{2} (θ) - θ \sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ)$