Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 {(x + h)}^{5}$

Bước 2.1.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Bước 2.1.2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.3.1

Nhân $3$ với $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Bước 2.1.2.1.3.2

Nhân $3$ với $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Bước 2.1.2.1.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Bước 2.1.2.1.5

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5})$

Bước 2.1.2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 3 (5 x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Bước 2.1.2.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.7.1

Nhân $5$ với $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Bước 2.1.2.1.7.2

Nhân $10$ với $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Bước 2.1.2.1.7.3

Nhân $10$ với $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Bước 2.1.2.1.7.4

Nhân $5$ với $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 15 (x h^{4}) - 3 h^{5}$

Bước 2.1.2.1.8

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Bước 2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Bước 2.2.2

Di chuyển $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Bước 2.2.3

Di chuyển $x^{4}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Bước 2.2.4

Di chuyển $x^{3}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Bước 2.2.5

Di chuyển $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Bước 2.2.6

Di chuyển $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5}$

Bước 2.2.7

Di chuyển $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 x^{3}$

Bước 2.2.8

Di chuyển $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Bước 2.2.9

Di chuyển $15 h^{2} x$ .

$5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Bước 2.2.10

Di chuyển $5 h^{3}$ .

$- 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Bước 2.2.11

Di chuyển $- 3 x^{5}$ .

$- 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Bước 2.2.12

Di chuyển $- 15 h x^{4}$ .

$- 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Bước 2.2.13

Di chuyển $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$- 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Bước 2.2.14

Di chuyển $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$- 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Bước 2.2.15

Sắp xếp lại $- 15 h^{4} x$ và $- 3 h^{5}$ .

$- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3} - 3 x^{5})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3}) - (- 3 x^{5})}{h}$

Bước 4.1.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} - (- 3 x^{5})}{h}$

Bước 4.1.3

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 3 x^{5}}{h}$

Bước 4.1.4

Cộng $- 3 x^{5}$ và $3 x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 0}{h}$

Bước 4.1.5

Cộng $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}}{h}$

Bước 4.1.6

Trừ $5 x^{3}$ khỏi $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 0}{h}$

Bước 4.1.7

Cộng $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.8

Đưa $h$ ra ngoài $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1

Đưa $h$ ra ngoài $- 3 h^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.8.2

Đưa $h$ ra ngoài $- 15 h^{4} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.8.3

Đưa $h$ ra ngoài $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.8.4

Đưa $h$ ra ngoài $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.8.5

Đưa $h$ ra ngoài $- 15 h x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.8.6

Đưa $h$ ra ngoài $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.8.7

Đưa $h$ ra ngoài $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2}}{h}$

Bước 4.1.8.8

Đưa $h$ ra ngoài $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.8.9

Đưa $h$ ra ngoài $h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.8.10

Đưa $h$ ra ngoài $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.8.11

Đưa $h$ ra ngoài $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.8.12

Đưa $h$ ra ngoài $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.8.13

Đưa $h$ ra ngoài $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.8.14

Đưa $h$ ra ngoài $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Bước 4.1.8.15

Đưa $h$ ra ngoài $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Bước 4.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Bước 4.2.1.2

Chia $- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Bước 4.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Di chuyển $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Bước 4.2.2.2

Di chuyển $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Bước 4.2.2.3

Di chuyển $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Bước 4.2.2.4

Di chuyển $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2}$

Bước 4.2.2.5

Di chuyển $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2}$

Bước 4.2.2.6

Di chuyển $15 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Bước 4.2.2.7

Di chuyển $- 3 h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Bước 4.2.2.8

Di chuyển $- 15 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Bước 4.2.2.9

Di chuyển $- 30 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Bước 4.2.2.10

Sắp xếp lại $- 30 x^{3} h$ và $- 15 x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x^{4} - 30 x^{3} h - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- lim_{h \to 0} 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 6

Tính giới hạn của $15 x^{4}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 7

Chuyển số hạng $30 x^{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 8

Chuyển số hạng $30 x^{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $h^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 10

Chuyển số hạng $15 x$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x lim_{h \to 0} h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 11

Đưa số mũ $3$ từ $h^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 12

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 lim_{h \to 0} h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 13

Đưa số mũ $4$ từ $h^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 14

Tính giới hạn của $15 x^{2}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 15

Chuyển số hạng $15 x$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Bước 16

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2}$

Bước 17

Đưa số mũ $2$ từ $h^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Bước 18

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1