Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4}$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = {(x + h)}^{4}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Bước 2.1.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Bước 2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Bước 2.2.2

Di chuyển $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Bước 2.2.3

Di chuyển $x$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4}$

Bước 2.2.4

Di chuyển $x^{4}$ .

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4}$

Bước 2.2.5

Di chuyển $4 h x^{3}$ .

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Bước 2.2.6

Di chuyển $6 h^{2} x^{2}$ .

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Bước 2.2.7

Sắp xếp lại $4 h^{3} x$ và $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - (x^{4})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Trừ $x^{4}$ khỏi $x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 0}{h}$

Bước 4.1.2

Cộng $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Bước 4.1.3

Đưa $h$ ra ngoài $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Bước 4.1.3.2

Đưa $h$ ra ngoài $4 h^{3} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Bước 4.1.3.3

Đưa $h$ ra ngoài $6 h^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3}}{h}$

Bước 4.1.3.4

Đưa $h$ ra ngoài $4 h x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Bước 4.1.3.5

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Bước 4.1.3.6

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Bước 4.1.3.7

Đưa $h$ ra ngoài $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

Bước 4.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

Bước 4.2.1.2

Chia $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

Bước 4.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Di chuyển $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

Bước 4.2.2.2

Di chuyển $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3}$

Bước 4.2.2.3

Di chuyển $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3}$

Bước 4.2.2.4

Di chuyển $4 x h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3}$

Bước 4.2.2.5

Sắp xếp lại $6 x^{2} h$ và $4 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Bước 6

Tính giới hạn của $4 x^{3}$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Bước 7

Chuyển số hạng $6 x^{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Bước 8

Chuyển số hạng $4 x$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $h^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Bước 10

Đưa số mũ $3$ từ $h^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân $6 x^{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Nhân $0$ với $6$ .

$4 x^{3} + 0 x^{2} + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Bước 12.1.1.2

Nhân $0$ với $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Bước 12.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0 + 0^{3}$

Bước 12.1.3

Nhân $4 x \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Nhân $0$ với $4$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 x + 0^{3}$

Bước 12.1.3.2

Nhân $0$ với $x$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0^{3}$

Bước 12.1.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0$

Bước 12.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 x^{3} + 0 + 0 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 0$

Bước 12.2.2

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Bước 12.2.3

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$4 x^{3}$

Bước 13