Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 \sqrt{x} + 6 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \sqrt{π}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 \sqrt{x} + 6 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \sqrt{π}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.10

Kết hợp $5$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 2.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{3}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $6$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 4.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 4.5

Kết hợp $\frac{- 2}{2}$ và $x$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 4.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 4.6.2.4

Chia $- x$ cho $1$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x + \frac{d}{d x} [\sqrt{π}]$

Bước 5

Vì $\sqrt{π}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\sqrt{π}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x + 0$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x$ và $0$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 18 x^{2} - x$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$18 x^{2} - x + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$