Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ và có tổng là $b = - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.1.1.1.2

Sắp xếp lại $27$ và $- 6 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.1.1.1.3

Viết lại $- 6$ ở dạng $3$ cộng $- 9$

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.1.1.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.1.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.1.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- (x + h) + 3$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- x - h + 3$ và $x + h - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.2.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.2.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.2.1.4

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.2.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x + h) - 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.2.1.6

Viết lại $- (x + h - 3)$ ở dạng $- 1 (x + h - 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.2.1.7

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Bước 2.1.2.2.1.8

Chia $- 1 (x + h + 9)$ cho $1$ .

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

Bước 2.1.2.2.2

Viết lại $- 1 (x + h + 9)$ ở dạng $- (x + h + 9)$ .

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

Bước 2.1.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

Bước 2.1.2.2.4

Nhân $- 1$ với $9$ .

$f (x + h) = - x - h - 9$

Bước 2.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- x - h - 9$ .

$- x - h - 9$

Bước 2.2

Sắp xếp lại $- x$ và $- h$ .

$- h - x - 9$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Bước 4.1.2

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Bước 4.1.3

Nhân $- - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

Bước 4.1.3.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Bước 4.1.4

Cộng $- x$ và $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

Bước 4.1.5

Cộng $- h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

Bước 4.1.6

Cộng $- 9$ và $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

Bước 4.1.7

Cộng $- h$ và $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Bước 4.2.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

Bước 5

Tính giới hạn của $- 1$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- 1$

Bước 6