Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1

Xét định nghĩa giới hạn của đạo hàm.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Bước 2.1.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Bước 4.1.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Bước 4.1.3

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{x})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

Bước 4.1.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{1}{x + h}$ và $b = \frac{1}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Bước 4.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Để viết $\frac{1}{x + h}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Bước 4.1.5.2

Để viết $\frac{1}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Bước 4.1.5.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + h) x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.3.1

Nhân $\frac{1}{x + h}$ với $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Bước 4.1.5.3.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Bước 4.1.5.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Bước 4.1.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Bước 4.1.5.5

Cộng $x$ và $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Bước 4.1.5.6

Để viết $\frac{1}{x + h}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Bước 4.1.5.7

Để viết $- \frac{1}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Bước 4.1.5.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x + h) x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.8.1

Nhân $\frac{1}{x + h}$ với $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Bước 4.1.5.8.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Bước 4.1.5.8.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Bước 4.1.5.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Bước 4.1.5.10

Viết lại $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Bước 4.1.5.10.2

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Bước 4.1.5.10.3

Trừ $h$ khỏi $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Bước 4.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (- 1 \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Bước 4.1.7

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Đưa dấu âm ra ngoài.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Bước 4.1.7.2

Nhân $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ với $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Bước 4.1.7.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

Bước 4.1.7.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

Bước 4.1.7.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Bước 4.1.7.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Bước 4.1.7.7

Nâng $x + h$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

Bước 4.1.7.8

Nâng $x + h$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

Bước 4.1.7.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Bước 4.1.7.10

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Bước 4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ vào tử số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.2

Đưa $h$ ra ngoài $- (2 x + h) h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Bước 4.3.4

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Bước 4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $\frac{1}{x^{2}}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{{(x + h)}^{2}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $2 x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Bước 10

Đưa số mũ $2$ từ ${(x + h)}^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}$

Bước 11

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Bước 12

Tính giới hạn của $x$ mà không đổi khi $h$ tiến dần đến $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Bước 13

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Bước 13.2

Tính giới hạn của $h$ bằng cách điền vào $0$ cho $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + 0)}^{2}}$

Bước 14

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{{(x + 0)}^{2}}$

Bước 14.2

Cộng $x$ và $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Bước 14.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x^{2}}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Bước 14.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Bước 14.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Bước 14.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Bước 14.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{2}{x^{2}}$

Bước 14.4

Nhân $\frac{- 1}{x}$ với $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{x \cdot x^{2}}$

Bước 14.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x^{2}}$

Bước 14.6

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 2}{x^{1} x^{2}}$

Bước 14.6.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 2}{x^{1 + 2}}$

Bước 14.6.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Bước 14.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Bước 15