Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Bước 1.1.1.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Bước 1.1.1.1.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Bước 1.1.1.3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Bước 1.1.1.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4}{x^{5}}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Bước 1.1.2.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Bước 1.1.2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Bước 1.1.2.2.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 5$ .

$- 4 (- 5 x^{- 6})$

Bước 1.1.2.4

Nhân $- 5$ với $- 4$ .

$20 x^{- 6}$

Bước 1.1.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{x^{6}}$

Bước 1.1.2.5.2

Kết hợp $20$ và $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{6}}$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{20}{x^{6}}$ .

$\frac{20}{x^{6}}$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{20}{x^{6}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{20}{x^{6}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$20 = 0$

Bước 1.2.3

Vì $20 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 2

Tìm tập xác định của $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x^{4}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{4} = 0$

Bước 2.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Bước 2.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Bước 2.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 2.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f'' (- 2) = \frac{20}{{(- 2)}^{6}}$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{20}{64}$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 (5)}{64}$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Bước 4.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Bước 4.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (- 2) = \frac{5}{16}$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Bước 4.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, 0)$ vì $f'' (- 2)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, 0)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f'' (2) = \frac{20}{{(2)}^{6}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $6$ .

$f'' (2) = \frac{20}{64}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$f'' (2) = \frac{4 (5)}{64}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $64$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Bước 5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Bước 5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (2) = \frac{5}{16}$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(0, \infty)$ vì $f'' (2)$ dương.

Lõm trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lõm trên $(- \infty, 0)$ vì $f'' (x)$ dương

Lõm trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 7