Giải tích Ví dụ

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Bước 1

Viết $y = \sin (x) + \cos (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Bước 2.2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x) - \cos (x)$ .

$- \sin (x) - \cos (x)$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Bước 3.2

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 3.3

Tách các phân số.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 3.4

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 3.5

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 3.6.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 3.7

Tách các phân số.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 3.8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 3.9

Chia $0$ cho $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Bước 3.10

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Bước 3.11

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = 1$

Bước 3.12

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 3.12.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 3.12.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Bước 3.12.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Bước 3.13

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (- 1)$

Bước 3.14

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.1

Giá trị chính xác của $\arctan (- 1)$ là $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Bước 3.15

Hàm tang âm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Bước 3.16

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.1

Cộng $2 π$ vào $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Bước 3.16.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{4}$ dương và có cùng cạnh cuối với $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 3.17

Tìm chu kỳ của $\tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.17.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 3.17.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 3.17.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 3.17.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 3.18

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.18.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{4}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{4} + π$

Bước 3.18.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 3.18.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.18.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 3.18.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 3.18.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.18.4.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Bước 3.18.4.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Bước 3.18.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 3.19

Chu kỳ của hàm $\tan (x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $\frac{3 π}{4}$ trong $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 4.1.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 4.1.2.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 4.1.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 4.1.2.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Bước 4.1.2.2.3

Chia $0$ cho $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{3 π}{4}$ trong $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ là $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Bước 4.3

Thay $\frac{3 π}{4}$ trong $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{3 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 4.3.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Bước 4.3.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Bước 4.3.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Bước 4.3.2.2.2

Trừ $\sqrt{2}$ khỏi $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Bước 4.3.2.2.3

Chia $0$ cho $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Bước 4.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 4.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{3 π}{4}$ trong $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ là $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Bước 4.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $2.25619449$ trong biểu thức.

$f'' (2.25619449) = - \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Bước 6.2

Câu trả lời cuối cùng là $- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$ .

$- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Bước 6.3

Tại $2.25619449$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.14118577$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, \frac{3 π}{4})$

Giảm trên $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $2.45619449$ trong biểu thức.

$f'' (2.45619449) = - \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Bước 7.2

Câu trả lời cuối cùng là $- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$ .

$- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Bước 7.3

Tại $2.45619449$ , đạo hàm bậc hai là $0.14118577$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Bước 9