Giải tích Ví dụ

$y = \ln (x^{2} + 1)$

Bước 1

Viết $y = \ln (x^{2} + 1)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Bước 2.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Bước 2.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Bước 2.1.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

Bước 2.1.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

Bước 2.1.2.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 1} \cdot x$

Bước 2.1.2.4.3

Kết hợp $\frac{2}{x^{2} + 1}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.3.2

Nhân $x^{2} + 1$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.3.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.8

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Bước 2.2.9

Kết hợp $2$ và $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.10.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2.10.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x^{2} = - 2$

Bước 3.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{2} = - 2$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{2} = - 2$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Bước 3.3.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Bước 3.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Bước 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Bước 3.3.4

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm 1$

Bước 3.3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 1$

Bước 3.3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 1$

Bước 3.3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 1, - 1$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $1$ trong $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Bước 4.1.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $1$ trong $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ là $(1, \ln (2))$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(1, \ln (2))$

Bước 4.3

Thay $- 1$ trong $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

Bước 4.3.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f (- 1) = \ln (2)$

Bước 4.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Bước 4.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 1$ trong $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ là $(- 1, \ln (2))$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 1, \ln (2))$

Bước 4.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 1.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 2$ với $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.3

Cộng $- 2.42$ và $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $- 1.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $1.21$ và $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $2.21$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Bước 6.2.3

Chia $- 0.42$ cho $4.8841$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Bước 6.3

Tại $- 1.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.08599332$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, - 1)$

Giảm trên $(- \infty, - 1)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 1, 1)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.1.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.1.3

Cộng $0$ và $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Bước 7.2.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

Bước 7.2.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

Bước 7.2.3

Chia $2$ cho $1$ .

$f'' (0) = 2$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 7.3

Tại $0$ , đạo hàm bậc hai là $2$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- 1, 1)$ .

Tăng trên $(- 1, 1)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.1$ trong biểu thức.

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $1.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 8.2.1.2

Nhân $- 2$ với $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 8.2.1.3

Cộng $- 2.42$ và $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nâng $1.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Bước 8.2.2.2

Cộng $1.21$ và $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Bước 8.2.2.3

Nâng $2.21$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Bước 8.2.3

Chia $- 0.42$ cho $4.8841$ .

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

Bước 8.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Bước 8.3

Tại $1.1$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.08599332$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(1, \infty)$

Giảm trên $(1, \infty)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

Bước 10