Giải tích Ví dụ

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Bước 1

Viết $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Nhân $\frac{4}{x}$ với $1$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.5.2

Kết hợp $\frac{4}{x}$ và $x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.5.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.5.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.5.3.2.5

Chia $4 x$ cho $1$ .

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.6

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.7.2

Kết hợp $\frac{4}{4}$ và $x$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.7.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.7.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.9

Nhân $x$ với $1$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Bước 2.1.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Bước 2.1.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Bước 2.1.11.2

Nhân $2$ với $5$ .

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Bước 2.1.11.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x \ln (\frac{x}{4})$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.7

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.8

Nhân $\frac{4}{x}$ với $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.9

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.10

Nhân $\frac{4}{x}$ với $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.11

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.12

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.12.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.13

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.14

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.14.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.2.15

Nhân $\ln (\frac{x}{4})$ với $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

Bước 2.2.3.3

Nhân $5$ với $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Bước 2.2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Nhân $10$ với $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Bước 2.2.4.2.2

Cộng $10$ và $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

Bước 3.2

Trừ $15$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ cho $10$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ cho $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $\ln (\frac{x}{4})$ cho $1$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 15$ và $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 15$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

Bước 3.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Bước 3.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Bước 3.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

Bước 3.3.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

Bước 3.4

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

Bước 3.5

Viết lại $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

Bước 3.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

Bước 3.6.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Bước 3.6.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Bước 3.6.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Bước 3.6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.2.1

Rút gọn $4 e^{- \frac{3}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.2.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3.6.3.2.1.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ trong $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ trong biểu thức.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Bước 4.1.2.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Bước 4.1.2.3

Nhân các số mũ trong ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Bước 4.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Bước 4.1.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Bước 4.1.2.4

Nhân $5 \frac{16}{e^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Kết hợp $5$ và $\frac{16}{e^{3}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Bước 4.1.2.4.2

Nhân $5$ với $16$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Bước 4.1.2.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

Bước 4.1.2.6

Kết hợp.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Bước 4.1.2.7

Rút gọn biểu thức $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Bước 4.1.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Bước 4.1.2.8

Di chuyển $e^{\frac{3}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Bước 4.1.2.9

Khai triển $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ bằng cách di chuyển $- \frac{3}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Bước 4.1.2.10

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Bước 4.1.2.11

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Bước 4.1.2.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.12.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{2}$ vào tử số.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Bước 4.1.2.12.2

Đưa $2$ ra ngoài $80$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Bước 4.1.2.12.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Bước 4.1.2.12.4

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

Bước 4.1.2.13

Kết hợp $\frac{40}{e^{3}}$ và $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

Bước 4.1.2.14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.14.1

Nhân $40$ với $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

Bước 4.1.2.14.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

Bước 4.1.2.15

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{120}{e^{3}}$ .

$- \frac{120}{e^{3}}$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ trong $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ là $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.79252064$ trong biểu thức.

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Chia $0.79252064$ cho $4$ .

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

Bước 6.2.1.2

Rút gọn $10 \ln (0.19813016)$ bằng cách di chuyển $10$ trong logarit.

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

Bước 6.2.1.3

Nâng $0.19813016$ lên lũy thừa $10$ .

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

Bước 6.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (0.00000009) + 15$ .

$\ln (0.00000009) + 15$

Bước 6.3

Tại $0.79252064$ , đạo hàm bậc hai là $- 1.18831089$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$

Giảm trên $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.99252064$ trong biểu thức.

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Chia $0.99252064$ cho $4$ .

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

Bước 7.2.1.2

Rút gọn $10 \ln (0.24813016)$ bằng cách di chuyển $10$ trong logarit.

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

Bước 7.2.1.3

Nâng $0.24813016$ lên lũy thừa $10$ .

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

Bước 7.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (0.00000088) + 15$ .

$\ln (0.00000088) + 15$

Bước 7.3

Tại $0.99252064$ , đạo hàm bậc hai là $1.06198168$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ .

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Bước 9