Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{x + 1}$

Bước 1

Viết $\frac{x}{x + 1}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Bước 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.1.2.2

Nhân $x + 1$ với $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.1.2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.1.2.6

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.1.2.6.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.1.2.6.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.1.2.6.4

Cộng $0$ và $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Viết lại $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ ở dạng ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Bước 2.1.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Bước 2.1.2.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 2}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 2}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.1.2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.1.2.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Bước 2.1.2.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Bước 2.1.2.3.4.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Bước 2.1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.2.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Bước 2.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Bước 2.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Bước 2.2.2

Cho tử bằng không.

$2 = 0$

Bước 2.2.3

Vì $2 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 3

Tìm tập xác định của $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x}{x + 1}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x + 1 = 0$

Bước 3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 3.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - 1}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq - 1}$

Bước 4

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, - 1)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Cộng $- 4$ và $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Bước 5.2.1.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{- 27}$

Bước 5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- 4) = \frac{2}{27}$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, - 1)$ vì $f'' (- 4)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, - 1)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- 1, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = - \frac{2}{{((0) + 1)}^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Cộng $0$ và $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1^{3}}$

Bước 6.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Bước 6.2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia $2$ cho $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Bước 6.2.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Bước 6.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- 1, \infty)$ vì $f'' (0)$ âm.

Lồi trên $(- 1, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lõm trên $(- \infty, - 1)$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(- 1, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 8