Giải tích Ví dụ

$\sin^{2} (x)$

Bước 1

Viết $\sin^{2} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Bước 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.1.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Bước 2.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2.1.1.3.2

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Bước 2.1.1.3.3

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Bước 2.1.1.3.4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 2.1.2.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Bước 2.1.2.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Bước 2.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Bước 2.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $2 \cos (2 x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Bước 2.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (2 x) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (2 x) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.2.2.2.1.2

Chia $\cos (2 x)$ cho $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Bước 2.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Bước 2.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$2 x = \arccos (0)$

Bước 2.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Bước 2.2.5

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.2.5.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Bước 2.2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.2.5.3.2

Nhân $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.2.1

Nhân $\frac{π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.5.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 2.2.6

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 2.2.7

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 2.2.7.1.2

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 2.2.7.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 2.2.7.1.4

Nhân $2$ với $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 2.2.7.1.5

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Bước 2.2.7.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{3 π}{2}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 2.2.7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 2.2.7.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Bước 2.2.7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 2.2.7.2.3.2

Nhân $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.3.2.1

Nhân $\frac{3 π}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Bước 2.2.7.2.3.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.2.8

Tìm chu kỳ của $\cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.2.8.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 2.2.8.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 2.2.8.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 2.2.8.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 2.2.9

Chu kỳ của hàm $\cos (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.2.10

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = 2 \cos (2 (0))$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $2$ với $0$ .

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

Bước 5.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

Bước 5.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (0) = 2$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, \infty)$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6