Giải tích Ví dụ

$x e^{- 3 x}$

Bước 1

Viết $x e^{- 3 x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x e^{- 3 x}$

Bước 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 3 x$ .

$x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.3.1

Nhân $- 3$ với $1$ .

$x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.1.3.3.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $e^{- 3 x}$ .

$x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Bước 2.1.1.3.5

Nhân $e^{- 3 x}$ với $1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

Bước 2.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Bước 2.1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x e^{- 3 x}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2.2

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- 3 x$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- 3 x$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2.4

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2.7

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2.8

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2.9

Nhân $e^{- 3 x}$ với $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 2.1.2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 2.1.2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 2.1.2.3.2

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

Bước 2.1.2.3.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot - 3$

Bước 2.1.2.3.5

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) - 3 e^{- 3 x}$

Bước 2.1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Bước 2.1.2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.2.1

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$9 (x (e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Bước 2.1.2.4.2.2

Trừ $3 e^{- 3 x}$ khỏi $- 3 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Bước 2.1.2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$

Bước 2.1.2.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Bước 2.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Bước 2.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$

Bước 2.2.2

Đưa $3 e^{- 3 x}$ ra ngoài $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa $3 e^{- 3 x}$ ra ngoài $9 x e^{- 3 x}$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x) - 6 e^{- 3 x} = 0$

Bước 2.2.2.2

Đưa $3 e^{- 3 x}$ ra ngoài $- 6 e^{- 3 x}$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2) = 0$

Bước 2.2.2.3

Đưa $3 e^{- 3 x}$ ra ngoài $3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2)$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$

Bước 2.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$3 x - 2 = 0$

Bước 2.2.4

Đặt $e^{- 3 x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đặt $e^{- 3 x}$ bằng với $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Bước 2.2.4.2

Giải $e^{- 3 x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Bước 2.2.4.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 2.2.4.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{- 3 x} = 0$

Không có đáp án

Bước 2.2.5

Đặt $3 x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Đặt $3 x - 2$ bằng với $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Bước 2.2.5.2

Giải $3 x - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x = 2$

Bước 2.2.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 2$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = 2$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Bước 2.2.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Bước 2.2.5.2.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Bước 2.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$ đúng.

$x = \frac{2}{3}$

Bước 3

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, \frac{2}{3})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = 9 (0) \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $9$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $- 3$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Bước 5.2.1.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Bước 5.2.1.4

Nhân $0$ với $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Bước 5.2.1.5

Nhân $- 3$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{0}$

Bước 5.2.1.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

Bước 5.2.1.7

Nhân $- 6$ với $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Bước 5.2.2

Trừ $6$ khỏi $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 6$ .

$- 6$

Bước 5.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \infty, \frac{2}{3})$ vì $f'' (0)$ âm.

Lồi trên $(- \infty, \frac{2}{3})$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(\frac{2}{3}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f'' (3) = 9 (3) \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $9$ với $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 3$ với $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 9} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Bước 6.2.1.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = 27 \cdot \frac{1}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Bước 6.2.1.4

Kết hợp $27$ và $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Bước 6.2.1.5

Nhân $- 3$ với $3$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 9}$

Bước 6.2.1.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 \frac{1}{e^{9}}$

Bước 6.2.1.7

Kết hợp $- 6$ và $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} + \frac{- 6}{e^{9}}$

Bước 6.2.1.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - \frac{6}{e^{9}}$

Bước 6.2.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (3) = \frac{27 - 6}{e^{9}}$

Bước 6.2.2.2

Trừ $6$ khỏi $27$ .

$f'' (3) = \frac{21}{e^{9}}$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{21}{e^{9}}$ .

$\frac{21}{e^{9}}$

Bước 6.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(\frac{2}{3}, \infty)$ vì $f'' (3)$ dương.

Lõm trên $(\frac{2}{3}, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lồi trên $(- \infty, \frac{2}{3})$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(\frac{2}{3}, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 8