Giải tích Ví dụ

$\arctan (x)$

Bước 1

Viết $\arctan (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \arctan (x)$

Bước 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 2.1.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{x^{2} + 1}$ ở dạng ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.1.2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.1.2.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Bước 2.1.2.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Bước 2.1.2.3.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Bước 2.1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Bước 2.1.2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Bước 2.1.2.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Bước 2.1.2.4.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.2.4.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Bước 2.2.2

Cho tử bằng không.

$2 x = 0$

Bước 2.2.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 2.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 3

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.2.2

Cộng $4$ và $1$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

Bước 5.2.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

Bước 5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25}$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, 0)$ vì $f'' (- 2)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, 0)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $4$ và $1$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{4}{25}$ .

$- \frac{4}{25}$

Bước 6.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(0, \infty)$ vì $f'' (2)$ âm.

Lồi trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lõm trên $(- \infty, 0)$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(0, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 8