Giải tích Ví dụ

$A (x) = x \sqrt{x + 5}$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 5}$ ở dạng ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 5$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.8.3

Di chuyển ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.11

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.12.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.12.2

Nhân $\frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Bước 1.1.1.14

Nhân ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.1.15

Để viết ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.16

Kết hợp ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.18

Nhân ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.18.1

Di chuyển ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.18.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.18.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.18.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.18.5

Chia $2$ cho $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 5) \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.19

Rút gọn ${(x + 5)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 5) \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.20

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x + 5$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 5)}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.21.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 5}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.21.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.21.2.1

Nhân $2$ với $5$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.1.21.2.2

Cộng $x$ và $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 10}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x + 10}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 x + 10$ và $g (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Nhân các số mũ trong ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.1.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Bước 1.1.2.4

Rút gọn.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Bước 1.1.2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 10$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Bước 1.1.2.5.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Bước 1.1.2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Bước 1.1.2.5.4

Nhân $3$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Bước 1.1.2.5.5

Vì $10$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $10$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Bước 1.1.2.5.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Bước 1.1.2.5.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Bước 1.1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.11.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.11.3

Di chuyển ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5)))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.14

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 5}$

Bước 1.1.2.15

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.15.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 5}$

Bước 1.1.2.15.2

Nhân $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 5}$

Bước 1.1.2.15.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 5}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 (x + 5)}$

Bước 1.1.2.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 5)}$

Bước 1.1.2.16.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.3.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.2

Giả sử $u_{2} = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ . Thay $u_{2}$ cho tất cả các lần xuất hiện của ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.2.2

Nhân $u_{2}$ với $u_{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.3.2.2.1

Di chuyển $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.2.2.2

Nhân $u_{2}$ với $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.3.4.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.3.4.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.4.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.3.4.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.4.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x + 5) - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.4.1.2

Rút gọn.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x + 5) - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 6 \cdot 5 - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.4.1.4

Nhân $6$ với $5$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 30 - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.4.2

Trừ $3 x$ khỏi $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 30 - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.3.4.3

Trừ $10$ khỏi $30$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Bước 1.1.2.16.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.4.1

Nhân $2$ với $5$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 10}$

Bước 1.1.2.16.4.2

Viết lại $\frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 10}$ ở dạng một tích.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 10}$

Bước 1.1.2.16.4.3

Nhân $\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{2 x + 10}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 10)}$

Bước 1.1.2.16.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 10)}$

Bước 1.1.2.16.5.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 5)}$

Bước 1.1.2.16.5.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2 \cdot 5$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 5))}$

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 5))}$

Bước 1.1.2.16.5.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.16.5.2.1

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (x + 5)}$

Bước 1.1.2.16.5.2.2

Nâng $x + 5$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 ((x + 5) {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 1.1.2.16.5.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.2.16.5.2.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.2.16.5.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Bước 1.1.2.16.5.2.6

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $A (x)$ đối với $x$ là $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$3 x + 20 = 0$

Bước 1.2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Trừ $20$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x = - 20$

Bước 1.2.3.2

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 20$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x = - 20$ cho $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Bước 1.2.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Bước 1.2.3.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 20}{3}$

Bước 1.2.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{20}{3}$

Bước 1.2.4

Loại bỏ đáp án không làm cho $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ đúng.

$Không có đáp án$

Bước 2

Tìm tập xác định của $A (x) = x \sqrt{x + 5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{x + 5}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x + 5 \geq 0$

Bước 2.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq - 5$

Bước 2.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 5, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq - 5}$

Ký hiệu khoảng:

$[- 5, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \geq - 5}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$[- 5, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $[- 5, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$A'' (0) = \frac{3 (0) + 20}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $3 (0)$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 20}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 4 \cdot 5}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (3 \cdot (0)) + 4 (5)$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 ({((0) + 5)}^{\frac{3}{2}})}$

Bước 4.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$A'' (0) = \frac{3 \cdot (0) + 5}{{((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Nhân $3$ với $0$ .

$A'' (0) = \frac{0 + 5}{{(0 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2.5.2

Cộng $0$ và $5$ .

$A'' (0) = \frac{5}{{(0 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Cộng $0$ và $5$ .

$A'' (0) = \frac{5}{5^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.2.6.2

Di chuyển $5^{1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Bước 4.2.7

Nhân $5^{\frac{3}{2}}$ với $5^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} - 1}}$

Bước 4.2.7.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Bước 4.2.7.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Bước 4.2.7.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Bước 4.2.7.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Bước 4.2.7.5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3

Đồ thị lõm trong khoảng $[- 5, \infty)$ vì $A'' (0)$ dương.

Lõm trên $[- 5, \infty)$ vì $A'' (x)$ dương

Bước 5