Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 x^{4} - 24 x^{3} + 30 x^{2}$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{4} - 24 x^{3} + 30 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{4}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $4$ với $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 24 x^{3}$ đối với $x$ là $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Bước 1.1.1.3.3

Nhân $3$ với $- 24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

Bước 1.1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Vì $30$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $30 x^{2}$ đối với $x$ là $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + 30 (2 x)$

Bước 1.1.1.4.3

Nhân $2$ với $30$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 72 x^{2} + 60 x$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 x^{3} - 72 x^{2} + 60 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x^{3}$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Bước 1.1.2.2.3

Nhân $3$ với $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Bước 1.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Vì $- 72$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 72 x^{2}$ đối với $x$ là $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x)$

Bước 1.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x)$

Bước 1.1.2.3.3

Nhân $2$ với $- 72$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (60 x)$

Bước 1.1.2.4

Tính $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Vì $60$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $60 x$ đối với $x$ là $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + 60 \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + 60 \cdot 1$

Bước 1.1.2.4.3

Nhân $60$ với $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 144 x + 60$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $36 x^{2} - 144 x + 60$ .

$36 x^{2} - 144 x + 60$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $36 x^{2} - 144 x + 60 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$36 x^{2} - 144 x + 60 = 0$

Bước 1.2.2

Đưa $12$ ra ngoài $36 x^{2} - 144 x + 60$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 144 x + 60 = 0$

Bước 1.2.2.2

Đưa $12$ ra ngoài $- 144 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 12 x) + 60 = 0$

Bước 1.2.2.3

Đưa $12$ ra ngoài $60$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 12 x) + 12 (5) = 0$

Bước 1.2.2.4

Đưa $12$ ra ngoài $12 (3 x^{2}) + 12 (- 12 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 12 x) + 12 (5) = 0$

Bước 1.2.2.5

Đưa $12$ ra ngoài $12 (3 x^{2} - 12 x) + 12 (5)$ .

$12 (3 x^{2} - 12 x + 5) = 0$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $12 (3 x^{2} - 12 x + 5) = 0$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $12 (3 x^{2} - 12 x + 5) = 0$ cho $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 12 x + 5)}{12} = \frac{0}{12}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 (3 x^{2} - 12 x + 5)}{12} = \frac{0}{12}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $3 x^{2} - 12 x + 5$ cho $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 5 = \frac{0}{12}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Chia $0$ cho $12$ .

$3 x^{2} - 12 x + 5 = 0$

Bước 1.2.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị $a = 3$ , $b = - 12$ , và $c = 5$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.1

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.6.1.2.2

Nhân $- 12$ với $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 60}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.6.1.3

Trừ $60$ khỏi $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.6.1.4

Viết lại $84$ ở dạng $2^{2} \cdot 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $84$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$

Bước 1.2.6.3

Rút gọn $\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{21}}{3}$

Bước 1.2.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.1

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.7.1.2.2

Nhân $- 12$ với $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 60}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.7.1.3

Trừ $60$ khỏi $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.7.1.4

Viết lại $84$ ở dạng $2^{2} \cdot 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $84$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.7.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.7.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$

Bước 1.2.7.3

Rút gọn $\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{21}}{3}$

Bước 1.2.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{6 + \sqrt{21}}{3}$

Bước 1.2.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.1

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.8.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.8.1.2.2

Nhân $- 12$ với $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 60}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.8.1.3

Trừ $60$ khỏi $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.8.1.4

Viết lại $84$ ở dạng $2^{2} \cdot 21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $84$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.8.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.8.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.8.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$

Bước 1.2.8.3

Rút gọn $\frac{12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{21}}{3}$

Bước 1.2.8.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{6 - \sqrt{21}}{3}$

Bước 1.2.9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \frac{6 - \sqrt{21}}{3}$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 144 \cdot 0 + 60$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 144 \cdot 0 + 60$

Bước 4.2.1.2

Nhân $36$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 - 144 \cdot 0 + 60$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 144$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 60$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$f'' (0) = 0 + 60$

Bước 4.2.2.2

Cộng $0$ và $60$ .

$f'' (0) = 60$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $60$ .

$60$

Bước 4.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f'' (2) = 36 {(2)}^{2} - 144 \cdot 2 + 60$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (2) = 36 \cdot 4 - 144 \cdot 2 + 60$

Bước 5.2.1.2

Nhân $36$ với $4$ .

$f'' (2) = 144 - 144 \cdot 2 + 60$

Bước 5.2.1.3

Nhân $- 144$ với $2$ .

$f'' (2) = 144 - 288 + 60$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $288$ khỏi $144$ .

$f'' (2) = - 144 + 60$

Bước 5.2.2.2

Cộng $- 144$ và $60$ .

$f'' (2) = - 84$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 84$ .

$- 84$

Bước 5.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ vì $f'' (2)$ âm.

Lồi trên $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f'' (6) = 36 {(6)}^{2} - 144 \cdot 6 + 60$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (6) = 36 \cdot 36 - 144 \cdot 6 + 60$

Bước 6.2.1.2

Nhân $36$ với $36$ .

$f'' (6) = 1296 - 144 \cdot 6 + 60$

Bước 6.2.1.3

Nhân $- 144$ với $6$ .

$f'' (6) = 1296 - 864 + 60$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $864$ khỏi $1296$ .

$f'' (6) = 432 + 60$

Bước 6.2.2.2

Cộng $432$ và $60$ .

$f'' (6) = 492$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $492$ .

$492$

Bước 6.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ vì $f'' (6)$ dương.

Lõm trên $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lõm trên $(- \infty, \frac{6 - \sqrt{21}}{3})$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(\frac{6 - \sqrt{21}}{3}, \frac{6 + \sqrt{21}}{3})$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(\frac{6 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 8