Giải tích Ví dụ

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x^{2}$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $2$ với $10$ .

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $- 10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 10 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 1.1.1.3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 1.1.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 1.1.1.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 1.1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 1.1.1.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Bước 1.1.1.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

Bước 1.1.1.3.7

Nhân $2$ với $- 10$ .

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $20 x - 20 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Vì $20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $20 x$ đối với $x$ là $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Bước 1.1.2.2.3

Nhân $20$ với $1$ .

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Bước 1.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Vì $- 20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 20 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Bước 1.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 1.1.2.3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 1.1.2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Bước 1.1.2.3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Bước 1.1.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 1.1.2.3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Bước 1.1.2.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

Bước 1.1.2.3.7

Nhân $- 2$ với $- 20$ .

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $20 + 40 \sin (2 x)$ .

$20 + 40 \sin (2 x)$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

Bước 1.2.2

Trừ $20$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$40 \sin (2 x) = - 20$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $40 \sin (2 x) = - 20$ cho $40$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $40 \sin (2 x) = - 20$ cho $40$ .

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $\sin (2 x)$ cho $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 20$ và $40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1.1

Đưa $20$ ra ngoài $- 20$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

Bước 1.2.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1.2.1

Đưa $20$ ra ngoài $40$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Bước 1.2.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Bước 1.2.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Bước 1.2.3.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Bước 1.2.4

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Bước 1.2.5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- \frac{1}{2})$ là $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Bước 1.2.6

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - \frac{π}{6}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - \frac{π}{6}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Bước 1.2.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Bước 1.2.6.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Bước 1.2.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.2.6.3.2

Nhân $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.3.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Bước 1.2.6.3.2.2

Nhân $2$ với $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Bước 1.2.7

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Bước 1.2.8

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Bước 1.2.8.2

Góc tìm được $\frac{7 π}{6}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Bước 1.2.8.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{7 π}{6}$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = \frac{7 π}{6}$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Bước 1.2.8.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Bước 1.2.8.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Bước 1.2.8.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 1.2.8.3.3.2

Nhân $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.3.3.2.1

Nhân $\frac{7 π}{6}$ với $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Bước 1.2.8.3.3.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Bước 1.2.9

Tìm chu kỳ của $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.2.9.2

Thay thế $b$ với $2$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Bước 1.2.9.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Bước 1.2.9.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2}$

Bước 1.2.9.4.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 1.2.10

Cộng $π$ vào mọi góc âm để có được các góc dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1

Cộng $π$ vào $- \frac{π}{12}$ để tìm góc dương.

$- \frac{π}{12} + π$

Bước 1.2.10.2

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Bước 1.2.10.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Bước 1.2.10.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Bước 1.2.10.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.4.1

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Bước 1.2.10.4.2

Trừ $π$ khỏi $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Bước 1.2.10.5

Liệt kê các góc mới.

$x = \frac{11 π}{12}$

Bước 1.2.11

Chu kỳ của hàm $\sin (2 x)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

Bước 4.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

Bước 4.2.1.3

Nhân $40$ với $0$ .

$f'' (0) = 20 + 0$

Bước 4.2.2

Cộng $20$ và $0$ .

$f'' (0) = 20$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $20$ .

$20$

Bước 4.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, \infty)$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 5