Giải tích Ví dụ

$f (x) = x {(x + 5)}^{2}$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Viết lại ${(x + 5)}^{2}$ ở dạng $(x + 5) (x + 5)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((x + 5) (x + 5)))$

Bước 1.1.1.2

Khai triển $(x + 5) (x + 5)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x (x + 5) + 5 (x + 5)))$

Bước 1.1.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)))$

Bước 1.1.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

Bước 1.1.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

Bước 1.1.1.3.1.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5))$

Bước 1.1.1.3.1.3

Nhân $5$ với $5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25))$

Bước 1.1.1.3.2

Cộng $5 x$ và $5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 10 x + 25))$

Bước 1.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} + 10 x + 25$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x^{2} + 10 x + 25) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 10 x + 25$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = x (2 x + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.5.3

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $10 x$ đối với $x$ là $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (2 x + 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.5.5

Nhân $10$ với $1$ .

$f' (x) = x (2 x + 10 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.5.6

Vì $25$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $25$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = x (2 x + 10 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.5.7

Cộng $2 x + 10$ và $0$ .

$f' (x) = x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.1.5.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1$

Bước 1.1.1.5.9

Nhân $x^{2} + 10 x + 25$ với $1$ .

$f' (x) = x (2 x + 10) + x^{2} + 10 x + 25$

Bước 1.1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = x (2 x) + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25$

Bước 1.1.1.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25$

Bước 1.1.1.6.2.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25$

Bước 1.1.1.6.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25$

Bước 1.1.1.6.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25$

Bước 1.1.1.6.2.5

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + 10 \cdot x + x^{2} + 10 x + 25$

Bước 1.1.1.6.2.6

Cộng $2 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x + 10 x + 25$

Bước 1.1.1.6.2.7

Cộng $10 x$ và $10 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 20 x + 25$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 20 x + 25$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (25)$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (25)$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (25)$

Bước 1.1.2.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (25)$

Bước 1.1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Vì $20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $20 x$ đối với $x$ là $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (25)$

Bước 1.1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25)$

Bước 1.1.2.3.3

Nhân $20$ với $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 20 + \frac{d}{d x} (25)$

Bước 1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Vì $25$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $25$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 20 + 0$

Bước 1.1.2.4.2

Cộng $6 x + 20$ và $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 20$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $6 x + 20$ .

$6 x + 20$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $6 x + 20 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$6 x + 20 = 0$

Bước 1.2.2

Trừ $20$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$6 x = - 20$

Bước 1.2.3

Chia mỗi số hạng trong $6 x = - 20$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $6 x = - 20$ cho $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 20}{6}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 20}{6}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 20}{6}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 20$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 20$ .

$x = \frac{2 (- 10)}{6}$

Bước 1.2.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{- 10}{3}$

Bước 1.2.3.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{10}{3}$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, - \frac{10}{3}) \cup (- \frac{10}{3}, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, - \frac{10}{3})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 6$ trong biểu thức.

$f'' (- 6) = 6 (- 6) + 20$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $6$ với $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 20$

Bước 4.2.2

Cộng $- 36$ và $20$ .

$f'' (- 6) = - 16$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 16$ .

$- 16$

Bước 4.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \infty, - \frac{10}{3})$ vì $f'' (- 6)$ âm.

Lồi trên $(- \infty, - \frac{10}{3})$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \frac{10}{3}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = 6 (0) + 20$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $6$ với $0$ .

$f'' (0) = 0 + 20$

Bước 5.2.2

Cộng $0$ và $20$ .

$f'' (0) = 20$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $20$ .

$20$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \frac{10}{3}, \infty)$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- \frac{10}{3}, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lồi trên $(- \infty, - \frac{10}{3})$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(- \frac{10}{3}, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 7