Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Bước 1

Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và khả vi trên $(a, b)$ , thì ít nhất một số thực $c$ tồn tại trong khoảng $(a, b)$ sao cho $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Định lý giá trị trung bình biểu thị mối liên hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại $x = c$ và hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm $(a, f (a))$ và $(b, f (b))$ .

Nếu $f (x)$ liên tục trên $[a, b]$

và nếu $f (x)$ khả vi trên $(a, b)$ ,

thì tồn tại ít nhất một điểm, $c$ trong $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[- 1, 1]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Bước 2.1.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\sqrt[3]{x}$

Bước 2.1.2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2.2

$f (x)$ liên tục trên $[- 1, 1]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Bước 3.1.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Bước 3.1.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Bước 3.1.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Bước 3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Bước 3.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.1.7.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $(- 1, 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $(- 1, 1)$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Bước 4.1.2

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Bước 4.1.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x^{2}}$ ở dạng $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.2.1

Rút gọn ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $27 x^{2} = 0$ cho $27$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $27 x^{2} = 0$ cho $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 4.1.3.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 4.1.3.3.1.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Bước 4.1.3.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1.3.1

Chia $0$ cho $27$ .

$x^{2} = 0$

Bước 4.1.3.3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 4.1.3.3.3

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 4.1.3.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 4.1.3.3.3.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 4.1.4

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 4.2

$f' (x)$ không liên tục trên $(- 1, 1)$ vì $0$ không nằm trong tập xác định của $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

Hàm số không liên tục.

Bước 5

Hàm số không khả vi trên $(- 1, 1)$ vì đạo hàm $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ không liên tục trên $(- 1, 1)$ .

Hàm số không khả vi.

Bước 6