Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[1, 8]$

Bước 1

Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và khả vi trên $(a, b)$ , thì ít nhất một số thực $c$ tồn tại trong khoảng $(a, b)$ sao cho $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Định lý giá trị trung bình biểu thị mối liên hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại $x = c$ và hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm $(a, f (a))$ và $(b, f (b))$ .

Nếu $f (x)$ liên tục trên $[a, b]$

và nếu $f (x)$ khả vi trên $(a, b)$ ,

thì tồn tại ít nhất một điểm, $c$ trong $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[1, 8]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Bước 2.1.2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2.2

$f (x)$ liên tục trên $[1, 8]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 3.1.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Bước 3.1.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 3.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Bước 3.1.5.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Bước 3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Bước 3.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3.1.7.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 4

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $(1, 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $(1, 8)$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Bước 4.1.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Bước 4.1.2

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Bước 4.1.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, lấy mũ ba cả hai vế của phương trình.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.2.1

Rút gọn ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.2.1.4

Rút gọn.

$27 x = 0^{3}$

Bước 4.1.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$27 x = 0$

Bước 4.1.3.3

Chia mỗi số hạng trong $27 x = 0$ cho $27$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $27 x = 0$ cho $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 4.1.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $27$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Bước 4.1.3.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Bước 4.1.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.3.3.1

Chia $0$ cho $27$ .

$x = 0$

Bước 4.1.4

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 4.2

$f' (x)$ liên tục trên $(1, 8)$ .

Hàm số liên tục.

Bước 5

Hàm số khả vi trên $(1, 8)$ vì đạo hàm liên tục trên $(1, 8)$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 6

$f (x)$ thỏa hai điều kiện của định lý giá trị trung bình. Nó liên tục trên $[1, 8]$ và khả vi trên $(1, 8)$ .

$f (x)$ liên tục trên $[1, 8]$ và khả vi trên $(1, 8)$ .

Bước 7

Tính $f (a)$ từ khoảng $[1, 8]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = {(1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 1$

Bước 7.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 8

Tính $f (b)$ từ khoảng $[1, 8]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $8$ trong biểu thức.

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$f (8) = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Bước 8.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 8.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (8) = 2^{2}$

Bước 8.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (8) = 4$

Bước 8.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $4$ .

$4$

Bước 9

Giải $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ để tìm $x$ . $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{4 - 1}{(8) - (1)}$

Bước 9.1.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{(8) - (1)}$

Bước 9.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{8 - 1}$

Bước 9.1.4

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$

Bước 9.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 7$

Bước 9.2.2

Vì $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ chứa cả số và biến nên cần thực hiện hai bước để tìm BCNN. Tìm BCNN cho phần số $3, 7$ sau đó tìm BCNN cho phần biến $x^{\frac{1}{3}}$ .

Bước 9.2.3

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 9.2.4

Vì $3$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $3$ .

$3$ là một số nguyên tố

Bước 9.2.5

Vì $7$ không có thừa số nào ngoài $1$ và $7$ .

$7$ là một số nguyên tố

Bước 9.2.6

BCNN của $3, 7$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$3 \cdot 7$

Bước 9.2.7

Nhân $3$ với $7$ .

$21$

Bước 9.2.8

BCNN của $x^{\frac{1}{3}}$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$x^{\frac{1}{3}}$

Bước 9.2.9

BCNN cho $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ là phần số $21$ nhân với phần biến.

$21 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 9.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ với $21 x^{\frac{1}{3}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ với $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (21 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 9.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$21 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 9.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 9.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$7 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 9.3.2.3

Kết hợp $7$ và $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 9.3.2.4

Nhân $7$ với $2$ .

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 9.3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 9.3.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$14 = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 9.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1.1

Đưa $7$ ra ngoài $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Bước 9.3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Bước 9.3.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$14 = 3 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Bước 9.3.3.2

Nhân $3$ với $3$ .

$14 = 9 x^{\frac{1}{3}}$

Bước 9.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ .

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$

Bước 9.4.2

Chia mỗi số hạng trong $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ cho $9$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ cho $9$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Bước 9.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Bước 9.4.2.2.2

Chia $x^{\frac{1}{3}}$ cho $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{14}{9}$

Bước 9.4.3

Lấy mũ lũy thừa $3$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Bước 9.4.4

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Bước 9.4.4.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Bước 9.4.4.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Bước 9.4.4.1.1.2

Rút gọn.

$x = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Bước 9.4.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.2.1

Rút gọn ${(\frac{14}{9})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{14}{9}$ .

$x = \frac{14^{3}}{9^{3}}$

Bước 9.4.4.2.1.2

Nâng $14$ lên lũy thừa $3$ .

$x = \frac{2744}{9^{3}}$

Bước 9.4.4.2.1.3

Nâng $9$ lên lũy thừa $3$ .

$x = \frac{2744}{729}$

Bước 10

Tìm được một đường tiếp tuyến tại $x = \frac{2744}{729}$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 1$ và $b = 8$ .

Có một đường tiếp tuyến tại $x = \frac{2744}{729}$ song song với đường thẳng đi qua các điểm cuối $a = 1$ và $b = 8$

Bước 11