Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

Bước 1

Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và khả vi trên $(a, b)$ , thì ít nhất một số thực $c$ tồn tại trong khoảng $(a, b)$ sao cho $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Định lý giá trị trung bình biểu thị mối liên hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại $x = c$ và hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm $(a, f (a))$ và $(b, f (b))$ .

Nếu $f (x)$ liên tục trên $[a, b]$

và nếu $f (x)$ khả vi trên $(a, b)$ ,

thì tồn tại ít nhất một điểm, $c$ trong $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = e^{- 2 x}$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2.2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 2]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 3.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 3.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Bước 3.1.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

Bước 3.1.2.3.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

Bước 3.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 2 e^{- 2 x}$ .

$- 2 e^{- 2 x}$

Bước 4

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $(0, 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4.2

$f' (x)$ liên tục trên $(0, 2)$ .

Hàm số liên tục.

Bước 5

Hàm số khả vi trên $(0, 2)$ vì đạo hàm liên tục trên $(0, 2)$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 6

$f (x)$ thỏa hai điều kiện của định lý giá trị trung bình. Nó liên tục trên $[0, 2]$ và khả vi trên $(0, 2)$ .

$f (x)$ liên tục trên $[0, 2]$ và khả vi trên $(0, 2)$ .

Bước 7

Tính $f (a)$ từ khoảng $[0, 2]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $- 2$ với $0$ .

$f (0) = e^{0}$

Bước 7.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$f (0) = 1$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 8

Tính $f (b)$ từ khoảng $[0, 2]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f (2) = e^{- 4}$

Bước 8.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Bước 9

Giải $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ để tìm $x$ . $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn $\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $e^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Nhân $\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ với $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

Bước 9.1.1.2

Kết hợp.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

Bước 9.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.4.2

Viết lại $e^{4} \cdot (1)$ ở dạng ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.4.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = e^{2} \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.4.1

Nhân $e^{2}$ với $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.4.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.4.4.3

Viết lại $e^{2} \cdot 1$ ở dạng ${(e \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.4.4.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = e \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.4.4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.4.5.1

Nhân $e$ với $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.4.4.5.2

Nhân $e$ với $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Bước 9.1.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.5.1

Đưa $e^{4}$ ra ngoài $e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

Bước 9.1.5.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

Bước 9.1.5.3

Cộng $2$ và $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

Bước 9.1.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{4}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

Bước 9.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Bước 9.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Bước 9.2.2.1.2

Chia $e^{- 2 x}$ cho $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Bước 9.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

Bước 9.2.3.2

Kết hợp.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Bước 9.2.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.3.1

Nhân $1 + e^{2}$ với $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Bước 9.2.3.3.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

Bước 9.2.3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Bước 9.3

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

Bước 9.4

Không thể giải phương trình vì $\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ không xác định.

Không xác định

Bước 9.5

Không có đáp án nào cho $e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Không có đáp án

Bước 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

Bước 11