Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

Bước 1

Tìm đạo hàm của $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Bước 1.1.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

$f' (x)$ liên tục trên $[0, 7]$ .

$f' (x)$ là liên tục

Bước 4

Giá trị trung bình của hàm số $f'$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 5

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x + 2 d x)$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + 2 x]_{0}^{7})$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $7$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{7})$

Bước 11.2

Tính $2 x$ tại $7$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} + 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.5

Cộng $\frac{49}{2}$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.6

Kết hợp $2$ và $\frac{49}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.7

Nhân $2$ với $49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{98}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $98$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $98$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{49}{1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.8.2.4

Chia $49$ cho $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.9

Nhân $2$ với $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 - 2 \cdot 0)$

Bước 11.3.10

Nhân $- 2$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 + 0)$

Bước 11.3.11

Cộng $14$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14)$

Bước 11.3.12

Cộng $49$ và $14$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (63)$

Bước 12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 0} \cdot 63$

Bước 12.2

Cộng $7$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 63$

Bước 13

Triệt tiêu thừa số chung $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đưa $7$ ra ngoài $63$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (9))$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 9)$

Bước 13.3

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 9$

Bước 14