Giải tích Ví dụ

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

Bước 1

Nếu $f$ liên tục trên khoảng $[a, b]$ và khả vi trên $(a, b)$ , thì ít nhất một số thực $c$ tồn tại trong khoảng $(a, b)$ sao cho $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Định lý giá trị trung bình biểu thị mối liên hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong tại $x = c$ và hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm $(a, f (a))$ và $(b, f (b))$ .

Nếu $f (x)$ liên tục trên $[a, b]$

và nếu $f (x)$ khả vi trên $(a, b)$ ,

thì tồn tại ít nhất một điểm, $c$ trong $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2.2

$f (x)$ liên tục trên $[1, 1]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{3} - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 3.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 3.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 3.1.2.3

Nhân $3$ với $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

Bước 3.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

Bước 3.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $9 x^{2} - 2$ .

$9 x^{2} - 2$

Bước 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 4.2

$f' (x)$ liên tục trên $Không có đáp án$ .

Hàm số liên tục.

Bước 5

Hàm số khả vi trên $Không có đáp án$ vì đạo hàm liên tục trên $Không có đáp án$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 6

$f (x)$ thỏa hai điều kiện của định lý giá trị trung bình. Nó liên tục trên $[1, 1]$ và khả vi trên $Không có đáp án$ .

Không có đáp án

Bước 7

Tính $f (a)$ từ khoảng $[1, 1]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Bước 7.2.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

Bước 7.2.1.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (1) = 3 - 2$

Bước 7.2.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f (1) = 1$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Bước 8

Phương trình này có một phân số không xác định

Không xác định

Bước 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

Bước 10