Giải tích Ví dụ

$y = (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (x^{2} + 1)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (x^{2} + 1))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Bước 3.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Bước 3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$(\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Bước 3.2.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ .

$2 \cdot (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}]$

Bước 3.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.5}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Bước 3.2.6

Vì $\frac{1}{3.5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3.5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3.5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Bước 3.2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Bước 3.2.8

Nhân $\frac{1}{3.5}$ với $1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + \frac{d}{d x} [\frac{3.5}{x}])$

Bước 3.2.9

Vì $3.5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3.5}{x}$ đối với $x$ là $3.5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 3.2.10

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Bước 3.2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + 3.5 (- x^{- 2}))$

Bước 3.2.12

Nhân $- 1$ với $3.5$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 x^{- 2})$

Bước 3.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x}{3.5} + \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 \frac{x}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \frac{x}{3.5} x + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{3.5}$ .

$\frac{2 x}{3.5} x + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.2

Kết hợp $\frac{2 x}{3.5}$ và $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 2 \frac{3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.7

Kết hợp $2$ và $\frac{3.5}{x}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{2 \cdot 3.5}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.8

Nhân $2$ với $3.5$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.9

Kết hợp $\frac{7}{x}$ và $x$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.10

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + \frac{7 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.10.2

Chia $7$ cho $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - 3.5 \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.11

Kết hợp $- 3.5$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} + \frac{- 3.5}{x^{2}})$

Bước 3.4.3.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + 7 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}})$

Bước 3.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{3.5} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.5} - \frac{3.5}{x^{2}}) + 7$