Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 1.1.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.4.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.4.5.2

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.1

Viết lại ${(x - 1)}^{2}$ ở dạng $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.2

Khai triển $(x - 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.3.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.3.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.3.1.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.3.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.3.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.5.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.7.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.7.1.1

Di chuyển $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.7.1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.7.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.7.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.7.1.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.7.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.7.2.1

Di chuyển $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.7.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.8

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.8.1

Di chuyển $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.8.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.1.8.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.8.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.8.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.1.9

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.2.2.1

Trừ $2 x^{3}$ khỏi $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.2.2

Cộng $- 4 x^{2} + 2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.2.3

Cộng $- 4 x^{2}$ và $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.3.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.3.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.3.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- x + 1$ và ${(x - 1)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.4.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.4.4

Viết lại $- (x - 1)$ ở dạng $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.4.5

Đưa $x - 1$ ra ngoài $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.1.5.4.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.4.6.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài ${(x - 1)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.1.5.4.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.1.5.4.6.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.1.5.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.1.5.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Bước 1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Bước 1.2.3.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.2.3.3

Nhân ${(x - 1)}^{3}$ với $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.2.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.2.5.2

Đưa ${(x - 1)}^{2}$ ra ngoài ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Đưa ${(x - 1)}^{2}$ ra ngoài ${(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.2.5.2.2

Đưa ${(x - 1)}^{2}$ ra ngoài $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.2.5.2.3

Đưa ${(x - 1)}^{2}$ ra ngoài ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Bước 1.2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đưa ${(x - 1)}^{2}$ ra ngoài ${(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.9

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.10.2

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.10.3

Trừ $3 x$ khỏi $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.10.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.10.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.2.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.5

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.7

Viết lại $- (2 x + 1)$ ở dạng $- 1 (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.2.11.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Bước 1.2.11.10

Nhân $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Bước 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

Bước 2.2

Cho tử bằng không.

$2 (2 x + 1) = 0$

Bước 2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (2 x + 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (2 x + 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.1.2.1.2

Chia $2 x + 1$ cho $1$ .

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

Bước 2.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$2 x + 1 = 0$

Bước 2.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x = - 1$

Bước 2.3.3

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Bước 2.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{1}{2}$

Bước 3

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $- \frac{1}{2}$ trong $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3.1.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3.1.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3.1.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3.1.2.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3.1.2.1.6

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Bước 3.1.2.2.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Bước 3.1.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Bước 3.1.2.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.4.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

Bước 3.1.2.2.4.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Bước 3.1.2.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Bước 3.1.2.2.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Bước 3.1.2.2.7

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Bước 3.1.2.2.8

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Bước 3.1.2.2.9

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Bước 3.1.2.2.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Bước 3.1.2.2.11

Nhân $\frac{9}{4}$ với $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

Bước 3.1.2.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Bước 3.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Bước 3.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

Bước 3.1.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Bước 3.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $- \frac{1}{2}$ trong $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ là $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - \frac{1}{2})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.6$ trong biểu thức.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nhân $2$ với $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Bước 5.2.1.2

Cộng $- 1.2$ và $1$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

Bước 5.2.2.2

Nâng $- 1.6$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

Bước 5.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $2$ với $- 0.2$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

Bước 5.2.3.2

Chia $- 0.4$ cho $6.5536$ .

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.06103515$ .

$- 0.06103515$

Bước 5.3

Tại $- 0.6$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.06103515$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, - \frac{1}{2})$

Giảm trên $(- \infty, - \frac{1}{2})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \frac{1}{2}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.4$ trong biểu thức.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $2$ với $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Bước 6.2.1.2

Cộng $- 0.8$ và $1$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $1$ khỏi $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

Bước 6.2.2.2

Nâng $- 1.4$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

Bước 6.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nhân $2$ với $0.2$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

Bước 6.2.3.2

Chia $0.4$ cho $3.8416$ .

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.10412328$ .

$0.10412328$

Bước 6.3

Tại $- 0.4$ , đạo hàm bậc hai là $0.10412328$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Tăng trên $(- \frac{1}{2}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 7

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Bước 8