Giải tích Ví dụ

$8 y + \sin (y) = x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (8 y + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 y + \sin (y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [8 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 y$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$8 y' + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$8 y' + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$8 y' + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$8 y' + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$8 y' + \cos (y) y'$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\cos (y) y' + 8 y'$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\cos (y) y' + 8 y' = 1$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\cos (y) y' + 8 y'$ .

$y' \cos (y) + 8 y' = 1$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cos (y) + 8 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \cos (y)$ .

$y' (\cos (y)) + 8 y' = 1$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $8 y'$ .

$y' (\cos (y)) + y' \cdot 8 = 1$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (\cos (y)) + y' \cdot 8$ .

$y' (\cos (y) + 8) = 1$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (\cos (y) + 8) = 1$ cho $\cos (y) + 8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (\cos (y) + 8) = 1$ cho $\cos (y) + 8$ .

$\frac{y' (\cos (y) + 8)}{\cos (y) + 8} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (y) + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (\cos (y) + 8)}{\cos (y) + 8} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{\cos (y) + 8}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos (y) + 8}$