Giải tích Ví dụ

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ đối với

$x$ là

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.2

Tính

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là

$f' (g (x)) g' (x)$ trong đó

$f (x) = x^{7}$ và

$g (x) = x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập

$u$ ở dạng

$x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là

$n u^{n - 1}$ trong đó

$n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$x + 2$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$x + 2$ đối với

$x$ là

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.2.4

Vì

$2$ là hằng số đối với

$x$ , đạo hàm của

$2$ đối với

$x$ là

$0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.2.5

Cộng

$1$ và

$0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.2.6

Nhân

$7$ với

$1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.3

Tính

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì

$- 7$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$- 7 x$ đối với

$x$ là

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.3.3

Nhân

$- 7$ với

$1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì

$- 1$ là hằng số đối với

$x$ , đạo hàm của

$- 1$ đối với

$x$ là

$0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ và

$0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của

$h (x)$ đối với

$x$ là

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng

$0$ rồi giải phương trình

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng

$0$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

Bước 2.2

Rút gọn

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Nhân

$2$ với

$6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.2.2

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$2$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.2.3

Nhân

$4$ với

$15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.2.4

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$3$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.2.5

Nhân

$8$ với

$20$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.2.6

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$4$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.2.7

Nhân

$16$ với

$15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.2.8

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$5$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.2.9

Nhân

$32$ với

$6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.2.10

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

Bước 2.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Bước 2.2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.4.1

Nhân

$12$ với

$7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Bước 2.2.1.4.2

Nhân

$60$ với

$7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Bước 2.2.1.4.3

Nhân

$160$ với

$7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Bước 2.2.1.4.4

Nhân

$240$ với

$7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Bước 2.2.1.4.5

Nhân

$192$ với

$7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Bước 2.2.1.4.6

Nhân

$7$ với

$64$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

Bước 2.2.2

Trừ

$7$ khỏi

$448$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

Bước 2.3

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x = - 3, - 1$

Bước 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng

$0$ là

$- 3, - 1$ .

$- 3, - 1$

Bước 4

Tách

$(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị

$x$ và làm cho đạo hàm

$0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng

$(- \infty, - 3)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến

$x$ bằng

$- 4$ trong biểu thức.

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Cộng

$- 4$ và

$2$ .

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

Bước 5.2.1.2

Nâng

$- 2$ lên lũy thừa

$6$ .

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

Bước 5.2.1.3

Nhân

$7$ với

$64$ .

$h' (- 4) = 448 - 7$

Bước 5.2.2

Trừ

$7$ khỏi

$448$ .

$h' (- 4) = 441$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là

$441$ .

$441$

Bước 5.3

Tại

$x = - 4$ đạo hàm là

$441$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên

$(- \infty, - 3)$ .

Tăng trên

$(- \infty, - 3)$ vì

$h' (x) > 0$

Tăng trên

$(- \infty, - 3)$ vì

$h' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng

$(- 3, - 1)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến

$x$ bằng

$- 2$ trong biểu thức.

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Cộng

$- 2$ và

$2$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

Bước 6.2.1.2

Nâng

$0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho

$0$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

Bước 6.2.1.3

Nhân

$7$ với

$0$ .

$h' (- 2) = 0 - 7$

Bước 6.2.2

Trừ

$7$ khỏi

$0$ .

$h' (- 2) = - 7$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là

$- 7$ .

$- 7$

Bước 6.3

Tại

$x = - 2$ đạo hàm là

$- 7$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên

$(- 3, - 1)$ .

Giảm trên

$(- 3, - 1)$ vì

$h' (x) < 0$

Giảm trên

$(- 3, - 1)$ vì

$h' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng

$(- 1, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến

$x$ bằng

$0$ trong biểu thức.

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Cộng

$0$ và

$2$ .

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

Bước 7.2.1.2

Nâng

$2$ lên lũy thừa

$6$ .

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

Bước 7.2.1.3

Nhân

$7$ với

$64$ .

$h' (0) = 448 - 7$

Bước 7.2.2

Trừ

$7$ khỏi

$448$ .

$h' (0) = 441$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là

$441$ .

$441$

Bước 7.3

Tại

$x = 0$ đạo hàm là

$441$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên

$(- 1, \infty)$ .

Tăng trên

$(- 1, \infty)$ vì

$h' (x) > 0$

Tăng trên

$(- 1, \infty)$ vì

$h' (x) > 0$

Bước 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên:

$(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

Giảm trên:

$(- 3, - 1)$

Bước 9