Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{x}$

Bước 1

Viết $y = \frac{1}{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Bước 2.1.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$1 = 0$

Bước 3.3

Vì $1 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 4

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 5

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} = 0$

Bước 5.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 5.2.2

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 5.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 5.2.2.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 6

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \frac{1}{x}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Bước 7.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Bước 7.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (- 1) = - 1$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$- 1$

Bước 7.3

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $- 1$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 0)$ .

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Bước 8.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Bước 8.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (1) = - 1$

Bước 8.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$- 1$

Bước 8.3

Tại $x = 1$ đạo hàm là $- 1$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, \infty)$ .

Giảm trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Giảm trên: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Bước 10