Giải tích Ví dụ

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Bước 1

Viết $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Bước 2.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Bước 2.1.2.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $6$ với $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $- 8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 8$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $3 x^{2} - 6 x + 6$ và $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

Bước 2.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Bước 3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

Bước 3.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

Bước 3.2.3

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Bước 3.2.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Bước 3.2.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $x^{2} - 2 x + 2$ cho $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Bước 3.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.5

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.2.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.3

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.4

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Bước 3.6.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.2.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.3

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Bước 3.7.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Bước 3.7.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = 1 + i$

Bước 3.8

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.2.2

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.3

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.4

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.7

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.8

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Bước 3.8.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Bước 3.8.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Bước 3.8.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = 1 - i$

Bước 3.9

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 1 + i, 1 - i$

Bước 4

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 5

Không có điểm nào làm cho đạo hàm $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ bằng $0$ hoặc không xác định. Khoảng được sử dụng để kiểm tra xem $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ tăng hay giảm là $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Bước 6

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(- \infty, \infty)$ trong đạo hàm $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương. Nếu kết quả là âm, thì biểu đồ giảm trên khoảng $(- \infty, \infty)$ . Nếu kết quả là dương, thì biểu đồ tăng trên khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 6$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 6$

Bước 6.2.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 6$

Bước 6.2.1.3

Nhân $- 6$ với $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 + 6$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $6$ khỏi $3$ .

$f' (1) = - 3 + 6$

Bước 6.2.2.2

Cộng $- 3$ và $6$ .

$f' (1) = 3$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $3$ .

$3$

Bước 7

Kết quả của việc thay thế $1$ thành $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ là $3$ , là dương, do đó đồ thị tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Tăng trên $(- \infty, \infty)$ vì $3 x^{2} - 6 x + 6 > 0$

Bước 8

Tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ có nghĩa là hàm luôn tăng.

Luôn tăng

Bước 9