Giải tích Ví dụ

$\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$

Bước 1

Viết $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{3} x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.2.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.2.5

Kết hợp $\frac{6}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.2.6.2.4

Chia $2 x^{2}$ cho $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.4.3

Nhân $12$ với $1$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 + \frac{d}{d x} [20]$

Bước 2.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.5.1

Vì $20$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $20$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 + 0$

Bước 2.1.5.2

Cộng $2 x^{2} - 2 x + 12$ và $0$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x + 12$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - 2 x + 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 2.2.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 2.2.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$4 x - 2 + \frac{d}{d x} [12]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x - 2 + 0$

Bước 2.2.4.2

Cộng $4 x - 2$ và $0$ .

$f'' (x) = 4 x - 2$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $4 x - 2$ .

$4 x - 2$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $4 x - 2 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$4 x - 2 = 0$

Bước 3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x = 2$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 2$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 2$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{2}{4}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{4}$

Bước 3.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Bước 3.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{1}{2}$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $\frac{1}{2}$ trong $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.2

Kết hợp.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $2^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1^{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (1^{3})}{3 \cdot 2^{3}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $3 \cdot 2^{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (1^{3})}{2 (3 \cdot 2^{2})} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 1^{3}}{2 (3 \cdot 2^{2})} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{3}}{3 \cdot 2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3 \cdot 2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3 \cdot 4} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.6

Nhân $3$ với $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - {(\frac{1}{2})}^{2} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1^{2}}{2^{2}} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2^{2}} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.9

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 12 (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 2 (6) (\frac{1}{2}) + 20$

Bước 4.1.2.1.10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 2 \cdot (6 (\frac{1}{2})) + 20$

Bước 4.1.2.1.10.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} + 6 + 20$

Bước 4.1.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}) + 6 + 20$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 6 + 20$

Bước 4.1.2.2.3

Viết $6$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6}{1} + 20$

Bước 4.1.2.2.4

Nhân $\frac{6}{1}$ với $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{12}{12} + 20$

Bước 4.1.2.2.5

Nhân $\frac{6}{1}$ với $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + 20$

Bước 4.1.2.2.6

Viết $20$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20}{1}$

Bước 4.1.2.2.7

Nhân $\frac{20}{1}$ với $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Bước 4.1.2.2.8

Nhân $\frac{20}{1}$ với $\frac{12}{12}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20 \cdot 12}{12}$

Bước 4.1.2.2.9

Sắp xếp lại các thừa số của $4 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20 \cdot 12}{12}$

Bước 4.1.2.2.10

Nhân $3$ với $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} - \frac{3}{12} + \frac{6 \cdot 12}{12} + \frac{20 \cdot 12}{12}$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3 + 6 \cdot 12 + 20 \cdot 12}{12}$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Nhân $6$ với $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3 + 72 + 20 \cdot 12}{12}$

Bước 4.1.2.4.2

Nhân $20$ với $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 3 + 72 + 240}{12}$

Bước 4.1.2.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 + 72 + 240}{12}$

Bước 4.1.2.5.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.2.1

Cộng $- 2$ và $72$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{70 + 240}{12}$

Bước 4.1.2.5.2.2

Cộng $70$ và $240$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{310}{12}$

Bước 4.1.2.5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $310$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $310$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (155)}{12}$

Bước 4.1.2.5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 155}{2 \cdot 6}$

Bước 4.1.2.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 155}{2 \cdot 6}$

Bước 4.1.2.5.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{155}{6}$

Bước 4.1.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{155}{6}$ .

$\frac{155}{6}$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{1}{2}$ trong $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 12 x + 20$ là $(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{1}{2})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.4$ trong biểu thức.

$f'' (0.4) = 4 (0.4) - 2$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $4$ với $0.4$ .

$f'' (0.4) = 1.6 - 2$

Bước 6.2.2

Trừ $2$ khỏi $1.6$ .

$f'' (0.4) = - 0.4$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.4$ .

$- 0.4$

Bước 6.3

Tại $0.4$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.4$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, \frac{1}{2})$

Giảm trên $(- \infty, \frac{1}{2})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{1}{2}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.6$ trong biểu thức.

$f'' (0.6) = 4 (0.6) - 2$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $4$ với $0.6$ .

$f'' (0.6) = 2.4 - 2$

Bước 7.2.2

Trừ $2$ khỏi $2.4$ .

$f'' (0.6) = 0.4$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.4$ .

$0.4$

Bước 7.3

Tại $0.6$ , đạo hàm bậc hai là $0.4$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{1}{2}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{155}{6})$

Bước 9