Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [26]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{3}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

Bước 1.1.2.3

Nhân $3$ với $6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (26)$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 24$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 24 x^{2}$ đối với $x$ là $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (26)$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (26)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (26)$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $26$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $26$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x$ và $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} + 18 x^{2} - 48 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Bước 1.2.2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Vì $18$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $18 x^{2}$ đối với $x$ là $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Bước 1.2.3.3

Nhân $2$ với $18$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Bước 1.2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Vì $- 48$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 48 x$ đối với $x$ là $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x - 48 \frac{d}{d x} x$

Bước 1.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x - 48 \cdot 1$

Bước 1.2.4.3

Nhân $- 48$ với $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x - 48$

Bước 1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{2} + 36 x - 48$ .

$12 x^{2} + 36 x - 48$

Bước 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $12 x^{2} + 36 x - 48 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$12 x^{2} + 36 x - 48 = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $12 x^{2} + 36 x - 48$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $12$ ra ngoài $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 36 x - 48 = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $12$ ra ngoài $36 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (3 x) - 48 = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $12$ ra ngoài $- 48$ .

$12 x^{2} + 12 (3 x) + 12 \cdot - 4 = 0$

Bước 2.2.1.4

Đưa $12$ ra ngoài $12 x^{2} + 12 (3 x)$ .

$12 (x^{2} + 3 x) + 12 \cdot - 4 = 0$

Bước 2.2.1.5

Đưa $12$ ra ngoài $12 (x^{2} + 3 x) + 12 \cdot - 4$ .

$12 (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Bước 2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Phân tích $x^{2} + 3 x - 4$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 4$ và tổng của chúng là $3$ .

$- 1, 4$

Bước 2.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$12 ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Bước 2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$12 (x - 1) (x + 4) = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Bước 2.4

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 2.4.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 2.5

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 2.5.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $12 (x - 1) (x + 4) = 0$ đúng.

$x = 1, - 4$

Bước 3

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $1$ trong $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = {(1)}^{4} + 6 {(1)}^{3} - 24 {(1)}^{2} + 26$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 1 + 6 {(1)}^{3} - 24 {(1)}^{2} + 26$

Bước 3.1.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 1 + 6 \cdot 1 - 24 {(1)}^{2} + 26$

Bước 3.1.2.1.3

Nhân $6$ với $1$ .

$f (1) = 1 + 6 - 24 {(1)}^{2} + 26$

Bước 3.1.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 1 + 6 - 24 \cdot 1 + 26$

Bước 3.1.2.1.5

Nhân $- 24$ với $1$ .

$f (1) = 1 + 6 - 24 + 26$

Bước 3.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Cộng $1$ và $6$ .

$f (1) = 7 - 24 + 26$

Bước 3.1.2.2.2

Trừ $24$ khỏi $7$ .

$f (1) = - 17 + 26$

Bước 3.1.2.2.3

Cộng $- 17$ và $26$ .

$f (1) = 9$

Bước 3.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $9$ .

$9$

Bước 3.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $1$ trong $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ là $(1, 9)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(1, 9)$

Bước 3.3

Thay $- 4$ trong $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f (- 4) = {(- 4)}^{4} + 6 {(- 4)}^{3} - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

Bước 3.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $4$ .

$f (- 4) = 256 + 6 {(- 4)}^{3} - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

Bước 3.3.2.1.2

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 4) = 256 + 6 \cdot - 64 - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

Bước 3.3.2.1.3

Nhân $6$ với $- 64$ .

$f (- 4) = 256 - 384 - 24 {(- 4)}^{2} + 26$

Bước 3.3.2.1.4

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 4) = 256 - 384 - 24 \cdot 16 + 26$

Bước 3.3.2.1.5

Nhân $- 24$ với $16$ .

$f (- 4) = 256 - 384 - 384 + 26$

Bước 3.3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Trừ $384$ khỏi $256$ .

$f (- 4) = - 128 - 384 + 26$

Bước 3.3.2.2.2

Trừ $384$ khỏi $- 128$ .

$f (- 4) = - 512 + 26$

Bước 3.3.2.2.3

Cộng $- 512$ và $26$ .

$f (- 4) = - 486$

Bước 3.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 486$ .

$- 486$

Bước 3.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 4$ trong $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 26$ là $(- 4, - 486)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 4, - 486)$

Bước 3.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(1, 9), (- 4, - 486)$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 4)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 4.1) = 12 {(- 4.1)}^{2} + 36 (- 4.1) - 48$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $- 4.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 4.1) = 12 \cdot 16.81 + 36 (- 4.1) - 48$

Bước 5.2.1.2

Nhân $12$ với $16.81$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 + 36 (- 4.1) - 48$

Bước 5.2.1.3

Nhân $36$ với $- 4.1$ .

$f'' (- 4.1) = 201.72 - 147.6 - 48$

Bước 5.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Trừ $147.6$ khỏi $201.72$ .

$f'' (- 4.1) = 54.12 - 48$

Bước 5.2.2.2

Trừ $48$ khỏi $54.12$ .

$f'' (- 4.1) = 6.12$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $6.12$ .

$6.12$

Bước 5.3

Tại $- 4.1$ , đạo hàm bậc hai là $6.12$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, - 4)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 4)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- 4, 1)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \frac{3}{2}$ trong biểu thức.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.3

Nhân $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ với $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (\frac{9}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 12 (\frac{9}{4}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (3) (\frac{9}{4}) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{9}{4})) + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot 9 + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.7

Nhân $3$ với $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 36 (- \frac{3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.8.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3}{2}$ vào tử số.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 36 (\frac{- 3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.8.2

Đưa $2$ ra ngoài $36$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 2 (18) (\frac{- 3}{2}) - 48$

Bước 6.2.1.8.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 2 \cdot (18 (\frac{- 3}{2})) - 48$

Bước 6.2.1.8.4

Viết lại biểu thức.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 + 18 \cdot - 3 - 48$

Bước 6.2.1.9

Nhân $18$ với $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 27 - 54 - 48$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách trừ các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $54$ khỏi $27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 27 - 48$

Bước 6.2.2.2

Trừ $48$ khỏi $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 75$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 75$ .

$- 75$

Bước 6.3

Tại $- \frac{3}{2}$ , đạo hàm bậc hai là $- 75$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- 4, 1)$

Giảm trên $(- 4, 1)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(1, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.1$ trong biểu thức.

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} + 36 (1.1) - 48$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $1.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 + 36 (1.1) - 48$

Bước 7.2.1.2

Nhân $12$ với $1.21$ .

$f'' (1.1) = 14.52 + 36 (1.1) - 48$

Bước 7.2.1.3

Nhân $36$ với $1.1$ .

$f'' (1.1) = 14.52 + 39.6 - 48$

Bước 7.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Cộng $14.52$ và $39.6$ .

$f'' (1.1) = 54.12 - 48$

Bước 7.2.2.2

Trừ $48$ khỏi $54.12$ .

$f'' (1.1) = 6.12$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $6.12$ .

$6.12$

Bước 7.3

Tại $1.1$ , đạo hàm bậc hai là $6.12$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(1, \infty)$ .

Tăng trên $(1, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, - 486), (1, 9)$ .

$(- 4, - 486), (1, 9)$

Bước 9