Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Bước 1

Viết $y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{8} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Bước 2.1.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Bước 2.1.2.4

Kết hợp $\frac{4}{8}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Bước 2.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Bước 2.1.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Bước 2.1.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Bước 2.1.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{3}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Bước 2.2.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Bước 2.2.2.4

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

Bước 2.2.3.3

Nhân $- 6$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

Bước 3.2

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Bước 3.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Bước 3.4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Rút gọn $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1

Kết hợp.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Bước 3.4.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Bước 3.4.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Bước 3.4.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Bước 3.4.1.1.3.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Bước 3.4.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Bước 3.4.2.1.1.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Bước 3.4.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x^{2} = 4$

Bước 3.5

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 3.6

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 3.6.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 3.7

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 3.7.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 3.7.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $2$ trong $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

Bước 4.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $16$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

Bước 4.1.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

Bước 4.1.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

Bước 4.1.2.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $- 3$ với $4$ .

$f (2) = 2 - 12$

Bước 4.1.2.2

Trừ $12$ khỏi $2$ .

$f (2) = - 10$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 10$ .

$- 10$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $2$ trong $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ là $(2, - 10)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(2, - 10)$

Bước 4.3

Thay $- 2$ trong $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

Bước 4.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

Bước 4.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

Bước 4.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

Bước 4.3.2.1.3

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

Bước 4.3.2.1.4

Nhân $- 3$ với $4$ .

$f (- 2) = 2 - 12$

Bước 4.3.2.2

Trừ $12$ khỏi $2$ .

$f (- 2) = - 10$

Bước 4.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 10$ .

$- 10$

Bước 4.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 2$ trong $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ là $(- 2, - 10)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 2, - 10)$

Bước 4.5

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 2)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 2.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 2.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Bước 6.2.1.2

Nhân $3$ với $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Bước 6.2.1.3

Chia $13.23$ cho $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

Bước 6.2.2

Trừ $6$ khỏi $6.615$ .

$f'' (- 2.1) = 0.615$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.615$ .

$0.615$

Bước 6.3

Tại $- 2.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.615$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, - 2)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 2)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 2, 2)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

Bước 7.2.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

Bước 7.2.1.3

Chia $0$ cho $2$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Bước 7.2.2

Trừ $6$ khỏi $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 6$ .

$- 6$

Bước 7.3

Tại $0$ , đạo hàm bậc hai là $- 6$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- 2, 2)$

Giảm trên $(- 2, 2)$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(2, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $2.1$ trong biểu thức.

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nâng $2.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Bước 8.2.1.2

Nhân $3$ với $4.41$ .

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Bước 8.2.1.3

Chia $13.23$ cho $2$ .

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

Bước 8.2.2

Trừ $6$ khỏi $6.615$ .

$f'' (2.1) = 0.615$

Bước 8.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.615$ .

$0.615$

Bước 8.3

Tại $2.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.615$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(2, \infty)$ .

Tăng trên $(2, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 9

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Các điểm uốn trong trường hợp này là $(- 2, - 10), (2, - 10)$ .

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

Bước 10