Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Viết $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.2.2

Nhân $x^{2} + 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.6.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.2.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.1.7

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 2.2.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.2.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.2.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.2.7

Cộng $- 2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.4.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.5.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.4.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.4.5.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.2

Viết lại ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ở dạng $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.3

Khai triển $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.4.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.4.1.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.4.1.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.4.1.4

Nhân $1$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.4.2

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.6.1

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.6.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.8.1

Nhân $x^{4}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.8.1.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.8.1.2

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.8.1.3

Cộng $1$ và $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.8.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.8.2.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.8.2.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.8.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.9.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.9.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.10

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.10.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.10.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.10.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.10.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.10.1.2

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.10.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.11

Khai triển $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.11.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.12

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.12.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Cộng $3$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.12.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.12.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.12.1.2.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.12.1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.12.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.12.1.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.12.2

Trừ $4 x^{3}$ khỏi $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.1.12.3

Cộng $4 x^{5}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.2

Cộng $- 2 x^{5}$ và $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.3.3

Trừ $4 x$ khỏi $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.4.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.4.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.4.1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.4.1.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.4.1.4

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.4.1.5

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.4.2

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.4.3

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.4.4

Phân tích $u^{2} - 2 u - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.4.4.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 3, 1$

Bước 2.2.5.4.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.4.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2} + 1$ và ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.5.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 2.2.5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.5.2.1

Đưa $x^{2} + 1$ ra ngoài ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.2.5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Bước 3.2

Cho tử bằng không.

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

Bước 3.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Bước 3.3.2

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.3.3

Đặt $x^{2} - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Đặt $x^{2} - 3$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Bước 3.3.3.2

Giải $x^{2} - 3 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 3$

Bước 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Bước 3.3.3.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.2.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{3}$

Bước 3.3.3.2.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{3}$

Bước 3.3.3.2.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Bước 3.3.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 x (x^{2} - 3) = 0$ đúng.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ trong $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 1}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 1}$

Bước 4.1.2.1.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Bước 4.1.2.2

Chia $0$ cho $1$ .

$f (0) = 0$

Bước 4.1.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$0$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $0$ trong $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ là $(0, 0)$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(0, 0)$

Bước 4.3

Thay $\sqrt{3}$ trong $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $\sqrt{3}$ trong biểu thức.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

Bước 4.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Bước 4.3.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Bước 4.3.2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Bước 4.3.2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Bước 4.3.2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1}$

Bước 4.3.2.1.1.5

Tính số mũ.

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 + 1}$

Bước 4.3.2.1.2

Cộng $3$ và $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Bước 4.3.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

Bước 4.4

Tìm điểm bằng cách thay thế $\sqrt{3}$ trong $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ là $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

Bước 4.5

Thay $- \sqrt{3}$ trong $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $- \sqrt{3}$ trong biểu thức.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Bước 4.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Bước 4.5.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Bước 4.5.2.1.3

Nhân ${\sqrt{3}}^{2}$ với $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Bước 4.5.2.1.4

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Bước 4.5.2.1.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Bước 4.5.2.1.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Bước 4.5.2.1.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Bước 4.5.2.1.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3 + 1}$

Bước 4.5.2.1.4.5

Tính số mũ.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{3 + 1}$

Bước 4.5.2.1.5

Cộng $3$ và $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Bước 4.5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Bước 4.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{4}$

Bước 4.6

Tìm điểm bằng cách thay thế $- \sqrt{3}$ trong $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ là $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Bước 4.7

Xác định các điểm có thể là điểm uốn.

$(0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}), (- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - \sqrt{3})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 1.8320508$ trong biểu thức.

$f'' (- 1.8320508) = \frac{2 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $2$ với $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 3.66410161 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $- 3.66410161$ với ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $- 1.8320508$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Bước 6.2.2.2

Cộng $3.35641016$ và $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{{4.35641016}^{3}}$

Bước 6.2.2.3

Nâng $4.35641016$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{- 1.30592304}{82.67730033}$

Bước 6.2.3

Chia $- 1.30592304$ cho $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = - 0.01579542$

Bước 6.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.01579542$ .

$- 0.01579542$

Bước 6.3

Tại $- 1.8320508$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.01579542$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, - \sqrt{3})$

Giảm trên $(- \infty, - \sqrt{3})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- \sqrt{3}, 0)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.8660254$ trong biểu thức.

$f'' (- 0.8660254) = \frac{2 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nhân $2$ với $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{- 1.7320508 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.1.2

Nhân $- 1.7320508$ với ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nâng $- 0.8660254$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Bước 7.2.2.2

Cộng $0.75$ và $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{{1.75}^{3}}$

Bước 7.2.2.3

Nâng $1.75$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = \frac{3.89711431}{5.359375}$

Bước 7.2.3

Chia $3.89711431$ cho $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = 0.72715835$

Bước 7.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.72715835$ .

$0.72715835$

Bước 7.3

Tại $- 0.8660254$ , đạo hàm bậc hai là $0.72715835$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \sqrt{3}, 0)$ .

Tăng trên $(- \sqrt{3}, 0)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \sqrt{3})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.8660254$ trong biểu thức.

$f'' (0.8660254) = \frac{2 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Nhân $2$ với $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{1.7320508 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.1.2

Nhân $1.7320508$ với ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Nâng $0.8660254$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Bước 8.2.2.2

Cộng $0.75$ và $1$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{{1.75}^{3}}$

Bước 8.2.2.3

Nâng $1.75$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (0.8660254) = \frac{- 3.89711431}{5.359375}$

Bước 8.2.3

Chia $- 3.89711431$ cho $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = - 0.72715835$

Bước 8.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.72715835$ .

$- 0.72715835$

Bước 8.3

Tại $0.8660254$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.72715835$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(0, \sqrt{3})$

Giảm trên $(0, \sqrt{3})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 9

Thay một giá trị từ khoảng $(\sqrt{3}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế biến $x$ bằng $1.8320508$ trong biểu thức.

$f'' (1.8320508) = \frac{2 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nhân $2$ với $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{3.66410161 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.1.2

Nhân $3.66410161$ với ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Nâng $1.8320508$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Bước 9.2.2.2

Cộng $3.35641016$ và $1$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{{4.35641016}^{3}}$

Bước 9.2.2.3

Nâng $4.35641016$ lên lũy thừa $3$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.30592304}{82.67730033}$

Bước 9.2.3

Chia $1.30592304$ cho $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = 0.01579542$

Bước 9.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $0.01579542$ .

$0.01579542$

Bước 9.3

Tại $1.8320508$ , đạo hàm bậc hai là $0.01579542$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Tăng trên $(\sqrt{3}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ .

$(- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{4}), (0, 0), (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

Bước 11