Giải tích Ví dụ

$y = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Bước 1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

Bước 1.1.4.2.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Bước 1.1.4.2.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$f' (x) = \sin (2 x) - \sin (x)$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\sin (2 x) - \sin (x)$ .

$\sin (2 x) - \sin (x)$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\sin (2 x) - \sin (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Bước 2.2

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Bước 2.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Bước 2.3.2

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Bước 2.3.3

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Bước 2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 2.5

Đặt $\sin (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt $\sin (x)$ bằng với $0$ .

$\sin (x) = 0$

Bước 2.5.2

Giải $\sin (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (0)$

Bước 2.5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.5.2.3

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$x = π - 0$

Bước 2.5.2.4

Trừ $0$ khỏi $π$ .

$x = π$

Bước 2.5.2.5

Tìm chu kỳ của $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.5.2.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.5.2.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.5.2.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.5.2.6

Chu kỳ của hàm $\sin (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.6

Đặt $2 \cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đặt $2 \cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 2.6.2

Giải $2 \cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (x) = 1$

Bước 2.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 2.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 2.6.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Bước 2.6.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 2.6.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.4.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Bước 2.6.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 2.6.2.6

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.6.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 2.6.2.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.6.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 2.6.2.6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 2.6.2.6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.6.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 2.6.2.6.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Bước 2.6.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.6.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.6.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.6.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.6.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ đúng.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\sin^{2} (0) + \cos (0)$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0^{2} + \cos (0)$

Bước 4.1.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + \cos (0)$

Bước 4.1.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 + 1$

Bước 4.1.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $π$ bằng $x$ .

$\sin^{2} (π) + \cos (π)$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\sin^{2} (0) + \cos (π)$

Bước 4.2.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0^{2} + \cos (π)$

Bước 4.2.2.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + \cos (π)$

Bước 4.2.2.1.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$0 - \cos (0)$

Bước 4.2.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 4.2.2.1.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 4.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $\frac{π}{3}$ bằng $x$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2.1.3

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3^{1}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2.1.3.5

Tính số mũ.

$\frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Bước 4.3.2.1.5

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Bước 4.3.2.2

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 4.3.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Bước 4.3.2.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Bước 4.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 + 2}{4}$

Bước 4.3.2.5

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{5}{4}$

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0 + 2 π n, 1), (π + 2 π n, - 1), (\frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5}{4})$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5