Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} - 8 \ln (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 8 \ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 \ln (x)$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

Bước 1.1.2.3

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{- 8}{x}$

Bước 1.1.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 x - \frac{8}{x}$ .

$2 x - \frac{8}{x}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 x - \frac{8}{x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

Bước 2.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$1, x, 1$

Bước 2.2.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x$

Bước 2.3

Nhân mỗi số hạng trong $2 x - \frac{8}{x} = 0$ với $x$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $2 x - \frac{8}{x} = 0$ với $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

Bước 2.3.2.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

Bước 2.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{8}{x}$ vào tử số.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Bước 2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

Bước 2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $0$ với $x$ .

$2 x^{2} - 8 = 0$

Bước 2.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x^{2} = 8$

Bước 2.4.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x^{2} = 8$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x^{2} = 8$ cho $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Bước 2.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

Bước 2.4.2.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2}$

Bước 2.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.3.1

Chia $8$ cho $2$ .

$x^{2} = 4$

Bước 2.4.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{4}$

Bước 2.4.4

Rút gọn $\pm \sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Bước 2.4.4.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 2$

Bước 2.4.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2$

Bước 2.4.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2$

Bước 2.4.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2, - 2$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{8}{x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = 0$

Bước 4

Tính $x^{2} - 8 \ln (x)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $2$ bằng $x$ .

${(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

Bước 4.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$4 - 8 \ln (2)$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn $- 8 \ln (2)$ bằng cách di chuyển $8$ trong logarit.

$4 - \ln (2^{8})$

Bước 4.1.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $8$ .

$4 - \ln (256)$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

${(- 2)}^{2} - 8 \ln (- 2)$

Bước 4.2.2

Logarit tự nhiên của một số âm là không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $0$ bằng $x$ .

${(0)}^{2} - 8 \ln (0)$

Bước 4.3.2

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định

Bước 4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(2, 4 - \ln (256))$

Bước 5