Giải tích Ví dụ

$y = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{3}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Bước 1.1.2.3

Nhân $3$ với $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $16 x$ đối với $x$ là $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $16$ với $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 16$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ và $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$

Bước 2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 16 = 0$

Bước 2.2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 16 = 0$

Bước 2.2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Bước 2.2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Bước 2.2.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

Bước 2.2.2

Phân tích $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Bước 2.2.2.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Bước 2.2.2.3

Thay $- 1$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 1$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Thay $- 1$ vào đa thức.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Bước 2.2.2.3.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Bước 2.2.2.3.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Bước 2.2.2.3.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Bước 2.2.2.3.5

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$- 4 + 4$

Bước 2.2.2.3.6

Cộng $- 4$ và $4$ .

$0$

Bước 2.2.2.4

Vì $- 1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x + 1$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Bước 2.2.2.5

Chia $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Bước 2.2.2.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Bước 2.2.2.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Bước 2.2.2.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Bước 2.2.2.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Bước 2.2.2.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 2.2.2.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 4 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Bước 2.2.2.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Bước 2.2.2.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Bước 2.2.2.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Bước 2.2.2.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Bước 2.2.2.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $4 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Bước 2.2.2.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Bước 2.2.2.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $4 x + 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Bước 2.2.2.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Bước 2.2.2.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} - 4 x + 4$

Bước 2.2.2.6

Viết $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Bước 2.2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Bước 2.2.3.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Bước 2.2.3.1.3

Viết lại đa thức này.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Bước 2.2.3.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$4 ((x + 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Bước 2.2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 2.4

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 2.4.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 2.5

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 2.5.2

Giải ${(x - 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 2.5.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ đúng.

$x = - 1, 2$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 4

Tính $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- 1$ bằng $x$ .

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$1 - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Bước 4.1.2.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$1 - 4 \cdot - 1 + 16 (- 1) - 16$

Bước 4.1.2.1.3

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$1 + 4 + 16 (- 1) - 16$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $16$ với $- 1$ .

$1 + 4 - 16 - 16$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Cộng $1$ và $4$ .

$5 - 16 - 16$

Bước 4.1.2.2.2

Trừ $16$ khỏi $5$ .

$- 11 - 16$

Bước 4.1.2.2.3

Trừ $16$ khỏi $- 11$ .

$- 27$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $2$ bằng $x$ .

${(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Bước 4.2.2.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$16 - 4 \cdot 8 + 16 (2) - 16$

Bước 4.2.2.1.3

Nhân $- 4$ với $8$ .

$16 - 32 + 16 (2) - 16$

Bước 4.2.2.1.4

Nhân $16$ với $2$ .

$16 - 32 + 32 - 16$

Bước 4.2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Trừ $32$ khỏi $16$ .

$- 16 + 32 - 16$

Bước 4.2.2.2.2

Cộng $- 16$ và $32$ .

$16 - 16$

Bước 4.2.2.2.3

Trừ $16$ khỏi $16$ .

$0$

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 1, - 27), (2, 0)$

Bước 5