Giải tích Ví dụ

$y = 2 x - \tan (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Bước 1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Bước 1.1.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \tan (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.1.3.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $2 - \sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $2 - \sec^{2} (x) = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Bước 2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Bước 2.3

Chia mỗi số hạng trong $- \sec^{2} (x) = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sec^{2} (x) = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.3.2.2

Chia $\sec^{2} (x)$ cho $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Bước 2.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Bước 2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Bước 2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Bước 2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Bước 2.6

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Bước 2.7

Giải tìm $x$ trong $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong secant.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Bước 2.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Giá trị chính xác của $arcsec (\sqrt{2})$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 2.7.3

Hàm secant dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Bước 2.7.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 2.7.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Bước 2.7.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Bước 2.7.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.4.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Bước 2.7.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Bước 2.7.5

Tìm chu kỳ của $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.7.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.7.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.7.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.7.6

Chu kỳ của hàm $\sec (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.8

Giải tìm $x$ trong $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Lấy secant nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ bên trong secant.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Bước 2.8.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Giá trị chính xác của $arcsec (- \sqrt{2})$ là $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Bước 2.8.3

Hàm secant âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Bước 2.8.4

Rút gọn $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Bước 2.8.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Bước 2.8.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Bước 2.8.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.4.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Bước 2.8.4.3.2

Trừ $3 π$ khỏi $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 2.8.5

Tìm chu kỳ của $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 2.8.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 2.8.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 2.8.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 2.8.6

Chu kỳ của hàm $\sec (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.9

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 2.10

Hợp nhất các câu trả lời.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đối số trong $\sec (x)$ bằng $\frac{π}{2} + π n$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 3.2

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , đối với bất kỳ số nguyên $n$ nào

Bước 4

Tính $2 x - \tan (x)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $\frac{π}{4}$ bằng $x$ .

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Bước 4.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

Bước 4.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

Bước 4.1.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Bước 4.1.2.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Bước 4.1.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = \frac{3 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $\frac{3 π}{4}$ bằng $x$ .

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Bước 4.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Bước 4.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Bước 4.2.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Bước 4.2.2.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì tang âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Bước 4.2.2.3

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Bước 4.2.2.4

Nhân $- (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3 π}{2} - - 1$

Bước 4.2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3 π}{2} + 1$

Bước 4.3

Tính giá trị tại $x = \frac{5 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $\frac{5 π}{4}$ bằng $x$ .

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Bước 4.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Bước 4.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Bước 4.3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Bước 4.3.2.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Bước 4.3.2.3

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Bước 4.3.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1$

Bước 4.4

Tính giá trị tại $x = \frac{7 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay $\frac{7 π}{4}$ bằng $x$ .

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Bước 4.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Bước 4.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Bước 4.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Bước 4.4.2.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì tang âm trong góc phần tư thứ tư.

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Bước 4.4.2.3

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Bước 4.4.2.4

Nhân $- (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{7 π}{2} - - 1$

Bước 4.4.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{7 π}{2} + 1$

Bước 4.5

Tính giá trị tại $x = \frac{9 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Thay $\frac{9 π}{4}$ bằng $x$ .

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

Bước 4.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Bước 4.5.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Bước 4.5.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Bước 4.5.2.2

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Bước 4.5.2.3

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

Bước 4.5.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1$

Bước 4.6

Liệt kê tất cả các điểm.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

Bước 5