Giải tích Ví dụ

$y = x \ln (x + 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x + 3)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 3$ .

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Kết hợp $\frac{1}{x + 3}$ và $x$ .

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.5.2

Nhân $\frac{x}{x + 3}$ với $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

Bước 1.1.3.7

Nhân $\ln (x + 3)$ với $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

Bước 1.1.4

Để viết $\ln (x + 3)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

Bước 1.1.6.1.1.2

Nhân $\ln (x + 3) \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1.1.2.1

Sắp xếp lại $\ln (x + 3)$ và $3$ .

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

Bước 1.1.6.1.1.2.2

Rút gọn $3 \cdot \ln (x + 3)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Bước 1.1.6.1.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ .

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Bước 1.1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Bước 1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Bước 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

Bước 2.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x \approx - 1.14544928$

Bước 3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x + 3 = 0$

Bước 3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 3.3

Đặt đối số trong $\ln (x + 3)$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x + 3 \leq 0$

Bước 3.4

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \leq - 3$

Bước 3.5

Đặt đối số trong $\ln ({(x + 3)}^{3})$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

Bước 3.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Bước 3.6.2

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

Bước 3.6.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 3.6.2.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x + 3 \leq 0$

Bước 3.6.3

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \leq - 3$

Bước 3.7

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Bước 4

Tính $x \ln (x + 3)$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giá trị tại $x = - 1.14544928$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay $- 1.14544928$ bằng $x$ .

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

Bước 4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Cộng $- 1.14544928$ và $3$ .

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ bằng cách di chuyển $1.14544928$ trong logarit.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

Bước 4.1.2.3

Nâng $1.85455071$ lên lũy thừa $1.14544928$ .

$- \ln (2.02886823)$

Bước 4.2

Tính giá trị tại $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Thay $- 3$ bằng $x$ .

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$- 3 \ln (0)$

Bước 4.2.2.2

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định

Bước 4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

Bước 5